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Programa/Syllabus
1 setembro 2018, 18:57 • Maria Cristina Carvalho de Aguiar Câmara
(i) Problemas de Riemann-Hilbert
1. Problemas de Riemann-Hilbert (PRH): PRH escalares e matriciais. Exemplos motivados por aplicações à Fisica e à Engenharia.
2. Breve revisão de alguns resultados de Análise Funcional: operadores lineares limitados em espaços de Banach; operadores compactos; operadores de Fredholm; regularizadores; o operador integral singular de Cauchy em espaços Lp.
3. Espaços de funções analíticas no disco e no semi-plano: as projecções de Riesz e os espaços de Hardy; factorização inner-outer.
4. O método de Riemann-Hilbert: métodos de resolução explícita de várias classes PRH escalares e vectoriais.
5. Aplicações em problemas de matemática pura e aplicada, física e engenharia.
5.1 Factorização de Wiener-Hopf de funções escalares e matriciais via PRH: teoremas gerais da factorização; factorização de funções contínuas e seccionalmente contínuas. Factorização meromorfa.
5.2 PRH matriciais e o teorema da coroa: Problemas da coroa clássicos e meromorfos; aplicações ao estudo do espectro de operadores de Toeplitz.
5.3 Apresentação e discussão de alguns resultados recentes, nomeadamente no estudo de sistemas integráveis, com base em artigos tratando tópicos de investigação.
(i) Riemann-Hilbert Problems
1. Riemann-Hilbert problems (RHP): scalar and vector RHP; matrix RHP. Examples motivated by applications in Physics and Engineering.
2. Brief revision of some results from Functional Analysis: bounded linear operators in Banach spaces; compact operators; Fredholm operators; Cauchy’s singular operator in Lp spaces.
3. Spaces of analytic functions in the disk and in a half plane: the Riesz projections and Hardy spaces; inner-outer factorization.
4. The Riemann-Hilbert method: explicit solutions to various classes of scalar and vectorial RHP.
5. Applications in pure and applied mathematics, physics and engineering:
5.1 Wiener-Hopf factorization of matrix functions via RHP: general factorization theorems; factorization of continuous and piecewise continuous functions. Meromorphic factorization.
5.2 Matrix RHP and the corona theorem: classical and meromorphic corona problems; applications to the study of the spectra of Toeplitz operators.
5.3 Introduction to recent advances in various topics, namely in integral systems, based on research papers.