2ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Continuação de noções topológicas em ℝn.

18 fevereiro 2020, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão dos aspectos principais da aula anterior.

Exemplos: Conjuntos infinitos abertos com intersecções de cada um dos casos: (a) conjunto fechado,  (b) conjunto aberto, (c) conjunto nem aberto nem fechado. E analogamente para uniões de Infinitos conjuntos fechados.

Proposição: Intersecções finitas de subconjuntos abertos de ℝⁿ são conjuntos abertos, uniões finitas de subconjuntos fechados de ℝⁿ, são conjuntos fechados.

(Dem. Se  A e B são conjuntos abertos, para cada x∈A∩B ∃ _rA,rB>0: B_rA(x)⊂A e B_rB(x)⊂B . Com r=min{r_A,r_B} é B_r(x)⊂A∩B , pelo que x∈int A∩B. Logo, A∩B⊂int A∩B e, portanto, A∩B é aberto. Para qualquer conjunto finito de subconjuntos abertos prova-se por indução com o que se provou para 2 conjuntos. Para uniões finitas de subconjuntos fechados o resultado segue das leis de De Morgan e dos conjuntos fechados serem os complementares de conjuntos abertos.)

Proposição:
(1) Para D⊂ℝⁿ, int D e ext D são  abertos, ∂D e D são fechados; 
(2) Para D⊂ℝⁿ, int D é o maior aberto contido em D, ext D é o maior aberto contido em ℝⁿ\D,  D é é o menor fechado que contém D. ; 

(Dem. (1) Se x∈int D , ∃_r>0: B_rx(x)⊂D, int D = U_{x∈int D}B_rx(x) , que é uma união de abertos e, portanto, aberto. ext D=int(ℝⁿ\D), pelo que é aberto. Como {int D, ext D, ∂D} é partição de ℝⁿ, ∂D=ℝⁿ\[(int D)U(ext D)] e, como int D e ext D são abertos também (int D)U(ext D) é, pelo que ∂D é fechado. Como D=(int D)U∂D , analogamente, ℝⁿ\D=ext D , que é aberto, e, portanto D é fechado.
(2) Se S⊂D e S é aberto, S=int S⊂int D . Para ext D aplica-se o anetrior substituindo D por ℝⁿ\D . Se S⊃D e S é fechado, ext S⊂ext D e, da partição de ℝⁿ {int D, ext D, ∂D}, S=S⊃D .

Exemplos: Determinação de int D, ext D, ∂D, D, e identificação de conjuntos abertos, conjuntos fechados, e conjuntos nem abertos nem fechados em exemplos concretos com D⊂ℝ².