AT3

15 setembro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken

Resolução de um exercício sobre propriedades topológicas de dois conjuntos. Discussão breve do uso de sucessões em R^n para analisar propriedades topológicas: a caraterização de conjuntos fechados usando sucessões convergentes e a caraterização de conjuntos compactos usando sucessões (teorema de Bolzano-Weierstrass).
Limites e continuidade para funções de n variáveis com valores em R^m. Noções iniciais: o domínio natural (= maximal) de uma função; as m funções coordenadas. Conceitos de limites e continuidade usando como exemplo uma função com m=n=1. A questão fundamental da existẽncia, ou não existẽncia, do limite de f quando x tende para a, com x diferente de a; continuidade de f quando a pertence ao domínio, e prolongação por continuidade de f ao ponto a, quando a não pertence ao domínio. Definição da existência do limite de f no ponto a com valor igual a b, para o caso de m=n=1 e para o caso geral (substituindo o módulo pela norma na definição).