AT10

27 setembro 2011, 13:00 • Roger Francis Picken

Observação sobre a definição de uma função de n variáveis com valores em R^m ser diferenciável num ponto a do interior do seu domínio: as linhas da matriz derivada/Jacobiana Df(a) são os gradientes das funções coordenadas. Propriedades: 1) fórmula para a derivada de f segundo um vetor v (=produto matricial entre Df(a) e v), 2) f é contínua no ponto a. Interpretação geométrica da definição de uma função f de duas variáveis com valores em R ser diferenciável no ponto (a,b): a função f admite, para argumemtos próximos de (a,b), uma aproximação boa por uma outra função, cujo gráfico é o plano tangente ao gráfico da função f. Discussão breve das equações Cartesianas de planos em R^3.
Novo exemplo da (não) diferenciabilidade num ponto: uma função com todas as derivadas segundo um vetor no ponto iguais a 0, mas descontínua no ponto, portanto não diferenciável no ponto. Uma segunda via para justificar diferenciabilidade num domínio: se f é de classe C^1 num domínio (aberto), f é diferenciável nesse domínio.