Sumários
9ª Aula Prática
30 abril 2010, 10:00 • Célia Mariana Rabaçal Borlido
Equivalência entre a invertibilidade de uma transformação linear T entre espaços lineares com a mesma dimensão finita e a invertibilidade de uma sua representação matricial; cálculo de T -1. Resolução de uma equação diferencial simples, num espaço de polinómios.
Foram resolvidos, completamente, os exercícios 78, 79 e 80.
24ª Aula Teórica
28 abril 2010, 12:00 • Jose Manuel Soares Chagas Roquette
Exemplo de cálculo do núcleo e da imagem de uma transformação linear de R n em R m, quando a sua representação matricial não é relativa às bases canónicas. Proposição afirmando que a soma e a composta de transformações lineares é, ainda, uma transformação linear, o mesmo se passando com o produto de uma transformação linear por um escalar.
Foi resolvido, como exemplo, o exercício 76 da lista das aulas práticas.
8ª Aula Prática
27 abril 2010, 10:30 • Célia Mariana Rabaçal Borlido
Revisão das noções de núcleo, imagem, nulidade e característica de uma transformação linear. Proposição relacionando o núcleo e a imagem de qualquer transformação linear de R n em R m com o núcleo e o espaço das colunas de uma sua representação matricial nas bases canónicas e estabelecendo a identidade n(T)+r(T)=dim R n; extensão desta proposição a qualquer transformação linear entre espaços lineares reais de dimensão finita. Proposição estabecendo um critério para que uma transformação linear entre espaços lineares de dimensão finita seja injectiva (nulidade igual a zero), sobrejectiva (característica igual à dimensão do espaço de chegada) e, sobretudo, afirmando a equivalência entre as noções de injectividade, sobrejectividade e bijectividade no caso do domínio e do espaço de chegada terem a mesma dimensão finita.
Foram resolvidos os exercícios 69.d), 69. e), 69.g), 71 e 73 (todo) da lista de exercícios.
23ª Aula Teórica
26 abril 2010, 12:00 • Jose Manuel Soares Chagas Roquette
Proposição estabelecendo que uma transformação linear injectiva preserva a independência linear, uma transformação linear sobrejectiva preserva conjuntos de geradores e uma transformação linear bijectiva preserva bases. As noções de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo; definição de espaços lineares isomorfos. Proposição estabelecendo que espaços lineares isomorfos, de dimensão finita, têm a mesma dimensão. Relacionamento entre as dimensões de V e W , para uma transformação linear T do espaço linear de dimensão finita V no espaço linear de dimensão finita W, quando T é injectiva, sobrejectiva e bijectiva. Teorema afirmando que qualquer espaço linear real de dimensão finita m é isomorfo a R m.
Foi resolvido, como exemplo, o exercício 74 da lista de exercícios das aulas práticas.
8ª Aula Prática
26 abril 2010, 09:30 • Jose Manuel Soares Chagas Roquette
Revisão das noções de núcleo, imagem, nulidade e característica de uma transformação linear. Proposição relacionando o núcleo e a imagem de qualquer transformação linear de R n em R m com o núcleo e o espaço das colunas de uma sua representação matricial nas bases canónicas e estabelecendo a identidade n(T)+r(T)=dim R n; extensão desta proposição a qualquer transformação linear entre espaços lineares reais de dimensão finita. Proposição estabecendo um critério para que uma transformação linear entre espaços lineares de dimensão finita seja injectiva (nulidade igual a zero), sobrejectiva (característica igual à dimensão do espaço de chegada) e, sobretudo, afirmando a equivalência entre as noções de injectividade, sobrejectividade e bijectividade no caso do domínio e do espaço de chegada terem a mesma dimensão finita.
Foram resolvidos os exercícios 69.d), 69.g), 71 e 73 (todo) da lista de exercícios.