Complex flows and geodesics in the space of Kähler metrics EVALUATED

Detalhes: Nesta dissertação, mostramos como a equação das geodésicas para a métrica de Mabuchi, com condições iniciais analíticas, no espaço das estruturas Kähler H numa variedade Kähler compacta, pode ser resolvida utilizando uma noção apropriada de evolução complexa para um campo vetorial Hamiltoniano e analítico. Começamos por rever a geometria da variedade Fréchet de dimensão infinita H, por estabelecer a equação das geodésicas para a métrica de Mabuchi e por provar que esta equação é equivalente a um problema de Dirichlet para a equação de Monge-Ampère Complexa e Homogénea. Depois de definirmos evolução complexa através da teoria das Séries de Lie, utilizamos o fluxo complexo de um campo vetorial Hamiltoniano analítico para agir na estrutura Kähler the uma variedade compacta. Provamos que a restrição desta acção a tempo imaginário define um caminho geodésico em H. Finalmente, estudamos dois exemplos importantes. O primeiro, em R2, é o fluxo complexo do campo vetorial Hamiltoniano de um oscilador harmónico em que uma fração da sua energia cinética é imaginária. O segundo, em S2, é o fluxo em tempo imaginário do campo vetorial Hamiltoniano associado a metade do quadrado do mapa de momentos de uma acção de S1. Estudamos tanto o caso de métricas iniciais invariantes pela ação de S1 como o caso de métricas não invariantes. Mostramos que, sob uma escolha adequada do valor mínimo do Hamiltoniano, as geodésicas de Mabuchi existem durante tempo geodésico infinito.

Discussão: julho 12, 2018, 10:0

Publicação

Obra sujeita a Direitos de Autor

Orientação

AUTOR

Pedro Miguel Silva (ist187910)

ORIENTADOR

José Manuel Vergueiro Monteiro Cidade Mourão

Departamento de Matemática (DM)

Professor Catedrático