Dissertação

Complex flows and geodesics in the space of Kähler metrics EVALUATED

Nesta dissertação, mostramos como a equação das geodésicas para a métrica de Mabuchi, com condições iniciais analíticas, no espaço das estruturas Kähler H numa variedade Kähler compacta, pode ser resolvida utilizando uma noção apropriada de evolução complexa para um campo vetorial Hamiltoniano e analítico. Começamos por rever a geometria da variedade Fréchet de dimensão infinita H, por estabelecer a equação das geodésicas para a métrica de Mabuchi e por provar que esta equação é equivalente a um problema de Dirichlet para a equação de Monge-Ampère Complexa e Homogénea. Depois de definirmos evolução complexa através da teoria das Séries de Lie, utilizamos o fluxo complexo de um campo vetorial Hamiltoniano analítico para agir na estrutura Kähler the uma variedade compacta. Provamos que a restrição desta acção a tempo imaginário define um caminho geodésico em H. Finalmente, estudamos dois exemplos importantes. O primeiro, em R2, é o fluxo complexo do campo vetorial Hamiltoniano de um oscilador harmónico em que uma fração da sua energia cinética é imaginária. O segundo, em S2, é o fluxo em tempo imaginário do campo vetorial Hamiltoniano associado a metade do quadrado do mapa de momentos de uma acção de S1. Estudamos tanto o caso de métricas iniciais invariantes pela ação de S1 como o caso de métricas não invariantes. Mostramos que, sob uma escolha adequada do valor mínimo do Hamiltoniano, as geodésicas de Mabuchi existem durante tempo geodésico infinito.
Geometria Kähler, Geodésicas de Mabuchi, Dinâmica Complexa, Fluxo Hamiltoniano complexo.

Julho 12, 2018, 10:0

Publicação

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Orientação

ORIENTADOR

José Manuel Vergueiro Monteiro Cidade Mourão

Departamento de Matemática (DM)

Professor Catedrático