Disciplina Curricular

Topologia Diferencial TD

Diploma de Estudos Avançados em Matemática - DEAMat2006

Contextos

Grupo: DEAMat2006 > 3º Ciclo > Álgebra e Topologia

Período:

Peso

7.5 (para cálculo da média)

Objectivos

Conhecer exemplos e as propriedades básicas das variedades regulares e das aplicações regulares entre elas. Saber calcular o grau de uma aplicação e o número de intersecção de duas variedades. Compreender a utilização da transversalidade na classificação das variedades a menos de cobordismo. Saber derivar informação topológica sobre uma variedade a partir de uma função de Morse.

Programa

Aplicações entre variedades: imersões, submersões e mergulhos. Teoremas de Whitney. Topologias fortes e fracas nos espaços de funções. Teoremas de aproximação. O Teorema de Morse-Sard. Transversalidade. Vizinhanças tubulares: Construções básicas com fibrados vectoriais. Orientações. Existência e unicidade de vizinhanças tubulares e colarinhos. Invariantes: Grau de uma aplicação. Teorema de Hopf sobre classificação de aplicações para esferas. Número de intersecção e característica de Euler. Aplicações. Teoria de Morse: Funções de Morse. Complexos CW e a decomposição celular dada por uma função de Morse. Desigualdades de Morse. Teorema de Poincaré-Hopf. Cobordismo: Definição dos anéis de cobordismo. A construção de Thom-Pontrjagin. Possíveis tópicos adicionais: Classificação de fibrados vectoriais; Teoria de Morse-Bott; Homologia de Morse; Teoremas de extensão de isotopias e aplicações; Introdução à teoria da cirurgia.