Neste espaço serão publicados guias de estudo contendo a matéria leccionada nas aulas teóricas e os quadros elaborados durante as aulas teóricas online. Estes quadros deveraõ servir como notas das aulas para ajudar o aluno a relembrar a matéria que foi leccionada.
Apresentação. Funcionamento da disciplina.
Os números reais. As propriedades algébricas dos reais.
Aula teórica 2 (2/3/2021). Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Aula teórica 2 (2/3/2021). Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ordenação dos números reais. Os axiomas de ordem.
O módulo ou valor absoluto.
Inequações.
Os números naturais. O método de indução matemática.
Os números racionais.
A não existência de solução racional da equação x2-2=0.
Os axiomas de corpo e de ordem não chegam para caracterizar o conjunto dos reais.
Minorantes, majorantes, mínimo, máximo, ínfimo e supremo de um conjunto.
O axioma do supremo.
O axioma do supremo (continuação).
Consequências do axioma do supremo.
A existência de irracionais.
Consequências do axioma do supremo (conclusão):
Propriedades dos racionais e dos irracionais.
Sucessões.
Sucessões por recorrência.
Sucessões monótonas.
Sucessões minoradas, majoradas e limitadas.
O limite de uma sucessão.
Limites de sucessões. Exemplos.
A unicidade do limite.
As propriedades algébricas dos limites. Exemplos.
A independência do limite relativamente a um número finito de ordens.
O limite de sucessões e a relação de ordem.
Limites por enquadramento:
O teorema das sucessões enquadradas. Produtos de infinitésimos com sucessões limitadas.
O teorema das sucessões enquadradas. Produtos de infinitésimos com sucessões limitadas.
Relação entre convergência, limitação e monotonia (início):
Toda a sucessão convergente é limitada.
Relação entre convergência, limitação e monotonia (conclusão):
O teorema das sucessões monótonas e limitadas.
Limites de sucessões definidas por recorrência.
Subsucessões.
Os sublimites de uma sucessão.
Critério de convergência baseado em subsucessões.
A recta acabada: limites infinitos (início).
Limites na recta acabada.
Propriedades da convergência na recta acabada.
Propriedades algébricas dos limites na recta acabada.
Indeterminações.
Indeterminações (conclusão).
Critério da razão para sucessões positivas.
Comparação do crescimento de sucessões positivas de tipos diferentes:
Escala de sucessões.
Funções reais de variável real (início).
Aula teórica 14 (6/4/2021). Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5, 6
Funções reais de variável real: revisões.
Propriedades das funções elementares.
Aula teórica 15 (9/4/2021). Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
Limites e continuidade de uma função num ponto.
Definição de limite.
Limites de funções usando sucessões: definição à Heine.
Equivalência das duas definições de limite.
Aula teórica 16 (12/4/2021). Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Equivalência das definições de limite à Cauchy e à Heine (conclusão): um exemplo importante.
Limites laterais.
A não existência de limite da função de Dirichlet em qualquer ponto.
Limites na recta acabada.
As propriedades dos limites de funções como consequência das propriedades dos limites de sucessões.
Aula teórica 17 (13/4/2021). Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Limites por enquadramento na recta acabada.
Limite da função composta.
Continuidade.
Continuidade da soma, produto, quociente e composta de funções contínuas.
Prolongamento por continuidade.
(abrange matéria que vem para o 1º teste)
Diferenciabilidade.
Derivada de uma função num ponto.
Regras de derivação.
A derivada da função composta.
Regras de derivação (conclusão): a derivada da função inversa.
A recta tangente ao gráfico de uma função num ponto.
Intervalos de monotonia.
Regra de Cauchy.
Propriedades globais da continuidade (início):
O Teorema de Bolzano e suas consequências.
Propriedades globais da continuidade (conclusão):
Aplicações do teorema de Bolzano.
Mínimos e máximos de funções em conjuntos:
O teorema de Weierstrass.
Exemplos (retirados da ficha 6)
Extremos locais.
Condição necessária de extremo num ponto de diferenciabilidade.
Resolução de exercícios de revisãp para preparação do 1º teste.
1º teste, 24/4/2021
Resultados globais da diferenciabilidade e suas consequências:
Os teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy (início).
O Teorema de Rolle e seus corolários.
Aplicações ao estudo de zeros de funções e soluções de equações.
Resultados globais da diferenciabilidade e suas consequências (continuação):
O teorema de Lagrange e suas consequências.
Funções com derivadas iguais num intervalo diferem de uma constante nesse intervalo.
Aplicação ao estudo dos intervalos de monotonia.
Aplicação a estimativas de funções.
Aula teórica 24 (30/4/2021). Guia de estudo da 2ª parte da aula e aula 25. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Resultados globais da diferenciabilidade e suas consequências (conclusão).
O teorema de Cauchy.
Uma consequência importante: a regra de Cauchy.
Concavidades e pontos de inflexão.
Aula teórica 25 (3/5/2021). Guia de estudo da 2ª parte da aula e aula 26. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Concavidades e pontos de inflexão (conclusão)
Assíntotas.
Polinómios de Taylor (início).
Polinómios de Taylor.
O teorema de Taylor com resto de Lagrange.
Aplicações: aproximação de funções e estimativas do erro da aproximação.
Polinómios de Taylor (conclusão):
Aplicação ao estudo de extremos locais e pontos de inflexão.
Cálculo Integral.
Primitivas (início).
O conjunto das primitivas de uma função num intervalo.
O conjunto das primitivas de uma função num intervalo.
Propriedades das primitivas.
Primitivação imediata e quase imediata..
Aula teórica 29 (11/5/2021). Aula gravada. Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Primitivação (continuação).
Polinómios trigonométricos.
O método de primitivação por partes.
Aula teórica 30 (14/5/2021). Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Primitivação (continuação).
Primitivação de funções racionais.
Primitivação (conclusâo).
Primitivação de funções racionais (conclusão).
Método de primitivação por substituição de variável.
O integral (de Riemann).
Motivação da definição: "área debaixo do gráfico".
Somas inferiores e superiores de Darboux.
Definição do integral.
Exemplo simples de integrabilidade: funções constantes.
Um exemplo de não integrabilidade: a função de Dirichlet.
O integral (continuação)
Critério geral de integrabilidade. Um corolário: o integral como limite de somas superiores e inferiores.
Exemplo de aplicação: construção explícita do integral num caso particular.
Outro exemplo: dedução da integrabilidade das funções monótonas e limitadas.
A integrabilidade das funções contínuas.
O integral (continuação)
Funções nulas excepto num conjunto finito de pontos.
Propriedades gerais do integral:
- Linearidade do integral. Uma consequência: funções que coincidem excepto num conjunto finito de pontos.
- Aditividade em relação ao intervalo de integração. Uma consequência. a integrabilidade das funções seccionalmente contínuas.
- Relação do integral com a relação de ordem: a propriedade de monotonia do integral.
- O teorema da média.
O integral (continuação)
O integral indefinido.
O Teorema Fundamental do Cálculo.
A regra de Barrow.
Fórmula de integração por partes.
Fórmula de substituição de variável.
Aula teórica 36 (28/5/2021). Guia de estudo (inclui 1ª parte da aula 37). Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Séries (início).
Sucessão das somas parciais e definição de convergência de uma série. Soma.
Exemplos.
Séries geométricas.
Séries de Mengoli.
Aula teórica 37 (31/5/2021). Guia de estudo (inclui 2ª parte da aula 37 e aula 38). Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Séries (continuação).
Propriedades gerais das séries.
Critérios de convergência.
Condição suficiente de divergência.
Séries de termo geral não negativo (STNN).
Critério do integral: uma aplicação importante: as séries de Dirichlet.
Séries (continuação).
Séries de termos não negativos (conclusão).
Os dois critérios de comparação.
Os critérios da raiz e de d'Alembert.
Séries de termos sem sinal determinado.
Um caso particular importante: as séries alternadas.
Critério da convergência absoluta.
Critério de Leibniz.
Aula teórica 39 (4/6/2021). Aula gravada. Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Séries de potências
Raio de convergência.
Fórmulas para o raio de convergência.
Exemplos.
Séries de Taylor: uma aplicação das séries de potências.