37ª Aula - Revisão de que matrizes hermitianas, antihermitianas e unitárias são normais, logo são diagonalizáveis por mudanças de bases definidas por matrizes unitárias. Transformações hermitianas, antihermitianas ou unitárias. Exemplos de cálculo de valores e vectores próprios e de formas canónicas de Jordan. Formas quadráticas: definição, Teorema dos Eixos Principais, determinação se forma quadrática (ou a correspondente matriz) é definida positiva (ou negativa), semidefinida positiva (ou negativa) pelos valores próprios. Identificação de cónicas e respectivos eixos por valores e vectores próprios..

14 dezembro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: As matrizes hermitianas, antihermitianas ou unitárias (para matrizes reais, resp., simétricas, antisimétricas, ortogonais) são normais; logo são diagonalizáveis por mudanças de bases definidas por matrizes unitárias.

Definição de transformação linear hermitiana, antihermitiana, unitária.

Proposição: Transformação linear num espaço linear complexo é hermitianas, antihermitiana ou unitária se e só se a representação matricial numa base ortonormal é.

Proposição: Os valores próprios de transformação linear (ou matriz) hermitiana, antihermitiana ou unitária são, resp., reais, imaginários puros, nºs de módulo 1.

Exemplo de cálculo de valores próprios, vectores próprios e matriz de diagonalização ortogonal.

Conclusão de exemplo de determinação de base para forma canónica de Jordan considerado no final da aula anterior.

Exemplo de matriz real não diagonalizável em matriz real mas sim em matriz complexa.

Definições: Forma quadrática real Q:ℝⁿ→ℝ , Q(z)=z^tAz=Σ_i,ja_ijz_iz_j , A matriz nxn real. Chama-se forma quadrática diagonal se A é diagonal.

Parte simétrica e parte antisimétrica de matriz quadrada real A: (A+A^t)/2, (A-A^t)/2 . (para matrizes complexas, parte hermitiana e antihermitiana:  (A+A*)/2, (A-A*)/2

Uma forma quadrática associada a uma matriz A real (resp., complexa) é igual à forma quadrática associada à parte simétrica (resp. hermitiana) de A.

Teorema dos eixos principais: Toda forma quadrática real (ou complexa) é diagonalizável por uma transformação de semelhança definida por uma matriz ortogonal.

Uma forma quadrática real é definida positiva, definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa se e só se os valores próprios são, respectivamente, todos >0, todos <0, todos ≥0, todos ≤0; é indefinida se há valores próprios >0 e também valores próprios <0 .

Observação: Já se tinha visto como classificar uma forma quadrática com base nos pivots obtidos por eliminação de Gauss. Também é possível classificá-las com base em determinantes: designando por A_jj as submatrizes jxj de A com as componentes nas 1ªs j linhas e colunas, a forma quadrática é definida positiva se e só se det A_jj>0 para as n matrizes com j=1,...,n ; é definida negativa se e só se -A é definida positiva, logo se e só se (-1)^jdet A_jj>0 para  j=1,...,n ; é semidefinida positiva se e só se os determinantes de todas as submatrizes de A de todas as ordens têm determinante >0 ; é semidefinida positiva se estes determinantes são >= para ordem par e <0 para ordem ímpar da submatriz. 

Implicações para identificar cónicas com equações cartesianas definidas por formas quadráticas em ℝ² e superfícies quadráticas definidas por formas quadráticas em ℝ², com identificação se são elipses ou hipérboles conforme os valores próprios têm o mesmo sinal  (se não for o conjunto vazio) ou sinais opostos, e  eixos dados pelas direcções dos vectores próprios (que são ortogonais).