8ª Aula - Revisão da noção de subespaço linear e identificação de espaços lineares. Exemplos espaços e de subespaços lineares. Intersecções de espaços lineares.

3 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Subespaços lineares de espaços lineares: definição; qualquer espaço linear tem subespaços {0} e V, se existem subespaços diferentes contêm o 1º e estão contidos no 2º; um subconjunto S de um espaço linear V é um subespaço linear de V se e só se é ≠∅ e satisfaz as propriedades de fecho da adição e da multiplicação por escalares.

Exemplos de subespaços de espaços lineares reais:

(1)   matrizes triangulares; sucessões de Fibonacci;
(2)   polinómios reais de grau ≤n ;
(3)   todos os polinómios reais;
(4)   C^k(I,ℝ) conjunto das funções de intervalo I⊂ℝ em ℝ com derivada de ordem k contínua em I (k∈ℕ) ;
(5)   C⁰(I,ℝ) conjunto das funções contínuas de I em ℝ ;
(6)   C^∞(I,ℝ) conjunto das funções indefinidamente diferenciáveis de I em ℝ 
( C^∞(I,ℝ) ⫋ ⋯ ⫋ C^k+1(I,ℝ) ⫋ C^k(I,ℝ) ⫋ ⋯ ⫋ C⁰(I,ℝ) ) ;
(8)   espaço nulo ou núcleo de matriz mxn A  (conjunto das soluções da equação homogénea Ax=0, N(A)={x∈ℝⁿ: Ax=0 }) ;
(9)   espaço dos termos independentes de sistemas de equações lineares com matriz de coeficientes  mxn A fixa (R(A)={b∈ℝ^m: ∃x∈ℝ^m: Ax=b}).

Proposição: Intersecções (numeráveis ou não) de subespaços lineares de um mesmo espaço linear V são subespaços lineares de V.

Exemplos.