19ª Aula - Revisão de representação matricial de transformação linear entre espaços de dimensão finita em bases ordenadas fixas no domínio e no espaço de chegada. Exemplos de determinação de representações matriciais de transformações lineares. Mudança de bases. Matrizes semelhantes. Transformações lineares com representações matriciais diagornais. Transformaçºões lineares que transformam circunferências em elipses. Definição de elipse e equação cartesiana de elipses centradas na origem e simétricas em relação a eixos coordenados ortogonais

30 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão de aula anterior: Representação matricial de transformação linear entre espaços de dimensão finita em bases ordenadas fixas no domínio e no espaço de chegada. A matriz tem as imagens dos vectores da base do domínio em colunas, nas componentes em relação à base do espaço de chegada. Matrizes representam transformações lineares em relação a um par de bases ordenadas fixas (do domínio e espaço de chegada) como coordenadas/componentes representam vectores em relação a uma base ordenada.

Exemplos de transformações lineares e de representações matriciais em bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada, com bases canónicas e não canónicas de ℝⁿ. 

Mudanças de bases em representações matriciais de transformações lineares entre espaços de dimensão finita.

Determinação de representações matriciais diagonais (desacoplamento de variáveis, direcções invariantes). Matrizes semelhantes. Representações matriciais de uma mesma transformação linear de um espaço de dimensão finita em si próprio são matrizes semelhantes; referência a que nem todas estas transformações lineares têm representação matricial diagonal.

Reflexões no plano em relação a recta que passa na origem. Deformações do espaço por transformações lineares que expandem em grandeza diferente em direcções de vectores linearmente independentes. Transformação de circunferências em elipses.

Descrição geométrica de elipse como lugares geométricodos pontos de um plano com soma de distâncias a dois pontos fixos (os focos) constante (o comprimento do eixo maior, que passa nos focos). Equações cartesianas de elipses centradas na origem e simétricas em relação a eixos coordenados ortogonais.