18ª Aula - Transformações lineares: definição, exemplos, representações matriciais em relação a bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada.
26 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães
Definição de transformação linear (princípio de sobreposição): Função T:V→W, em que V, W são espaços lineares com escalares no meso corpo |K, tal que: (1) T(u+v)=T(u)+T(v) , (2) T(cu)=cT(u) para u,v∈V, c∈|K . Se W=V diz-se que T é uma transformação linear em V .
Proposição: Uma função entre espaços lineares com os mesmos escalares é uma transformação linear se e só se imagens de combinações lineares de vectores são as combinações lineares das imagens dos vectores com os mesmos coeficientes.
Exemplos: Transformação linear multiplicação por um escalar (inclui transformação zero, e transformação identidade de um espaço linear V num espaço linear W⊃V , definida por T(x)=x para x∈V e designada 1V ), transformação linear de ℝn em ℝm definida por matriz mxn A por T(x)=Ax , fórmula geral em termos de componentes para transformações lineares de ℝ2 em ℝ2, transformações lineares de ℂ em ℂ , fórmula geral das transformações lineares em termos de componentes para transformações lineares do espaço linear real dos nºs complexos em si próprio.
Transformação linear definida no espaço linear S das sucessões de termos reais com limite por T({un})=lim un , transformação linear derivação no subespaço das funções reais diferenciáveis num intervalo I⊂ℝ no espaço ℝI das funções de I em ℝ .
Representação matricial de transformação linear entre espaços lineares de dimensão finita em relação a bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada. Se T:V→W é uma transformação linear, dim V=n, dim W=m, x são as componentes de um vector numa base do domínio e y as componentes da imagem desse vector por T numa base do contradomínio e A é a representação matricial (mxn) de T nessas bases, então y=Ay.
Proposição: Uma matriz real 2x2 é representação matricial de uma transformação linear T:ℂ→ℂ na base canónica de ℝ2, identificando cada elemento (x,y)∈ℝ2 com z=x+iy∈ℂ , se e só se as componentes na diagonal principal são iguais e as outras componentes são simétricas.
Observação: Assim como uma base de um espaço linear é um sistema de referência para o espaço que permite representar univocamente cada vector pelas coordenadas na base, que em dimensão finita n são uma n-pla ordenada de escalares, fixado um par de bases ordenadas em espaços lineares de dimensão finita com os mesmos escalares V, W, cada transformação linear de V em W é representada univocamente por uma matriz A mxn, em que n=dim V, m=dim W. As matrizes mxn desempenham para estas transformações lineares, em relação a um par ordenado de bases de V e W, o papel que para vectores de um espaço linear de dimensão finita é desempenhado pelas coordenadas numa base ordenada do espaço.