Espaços Vectoriais Euclideanos

20 dezembro 2006, 09:00 • Ana Moura Santos

Definição de produto interno, p.i., generalizado num espaço vectorial V: função de VxV em R que verifica os axiomas da simetria, aditividade, homogeneidade e positividade.

Definição de norma (comprimento) dum vector, distância entre dois vectores e ortogonalidade de dois vectores.

Exemplo do espaço vectorial euclideano R^n com o p.i. usual. Norma dos vectores da base canónica e ortogonalidade dos vectores da base canónica dois a dois.

Exemplo do R^2 com um p.i. não-usual (pesado). Verificação de que se trata dum p.i. (verificação dos 4 axiomas). Consequências geométricas dum p.i. não-usual: as normas dos vectores da base canónica são diferentes de um, a circunferência unitária "parece" uma elipse. O que se mantém: os vectores da base canónica continuam a ser ortogonais, o Teorema de Pitágoras continua válido.

A matriz associada ao p.i.

[Anton]: p. 276-281