Disciplina
Análise Complexa
Área
Área Científica de Análise Real e Análise Funcional > Análise Real e Análise Funcional
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Nível
A avaliação consiste em dois testes ou um exame. A classificação final poderá, ainda, ter uma componente de avaliação continua que será obtida através da realização de exercícios durante o semestre.
Tipo
Não Estruturante
Regime
Semestral
Carga Horária
1º Semestre
4.0 h/semana
154.0 h/semestre
Objectivos
Aprofundar a formação em Análise Complexa, em particular introduzindo o Teorema de Cauchy global e estabelecendo resultados fundamentais sobre o prolongamento analítico. Iniciar o estudo das superficies de Riemann elípticas,incluindo o estudo das funções elípticas.
Programa
<i>Funções analíticas e Teorema de Cauchy global:</i> Propriedades das funções analíticas.Índice. Teorema do modulo máximo, Teorema de Liouville e Teorema de Morera. Teorema Fundamental da Álgebra. Teorema de Cauchy global. Funções meromorfas. Classificação de singularidades. Teorema dos resíduos em regiões multiplamente conexas. <i>Representação de funções inteiras e meromorfas. Funções Harmónicas:</i> Produtos infinitos. Produtos de Weierstrass. Factorização de Hadamard. Teorema de Mittag-Leffler. Funções harmónicas. Núcleo de Poisson. Fórmula de Poisson. Teorema de Schwarz-Poisson. <i>Transformações conformes:</i> Transformação de Möbius. Teorema da aplicação de Riemann. Aplicações. <i>Prolongamento analítico:</i> Unicidade do prolongamento analítico directo. Teorema da reflexão de Schwarz. Prolongamento analítico ao longo de linhas. Teorema da monodromia ? fronteiras naturais. <i>Funções elípticas e introdução às superficies de Riemann:</i> Períodos, reticulados e funções duplamente periódicas. Construção de funções elípticas com zeros e polos dados. Conceito de superfície de Riemann. Superficies elípticas.
Metodologia de avaliação
A avaliação consiste em dois testes ou um exame. A classificação final poderá, ainda, ter uma componente de avaliação continua que será obtida através da realização de exercícios durante o semestre.
Pré-requisitos
Componente Laboratorial
Princípios Éticos
Componente de Programação e Computação
Componente de Competências Transversais
Bibliografia
Principal
Secundária
Functions of one complex variable
Elements of the theory of elliptic functions