Disciplina
Complementos de Análise Complexa
Área
Área Científica de Análise Real e Análise Funcional > Análise Real e Análise Funcional
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Nível
Exame Final
Tipo
Não Estruturante
Regime
Semestral
Carga Horária
1º Semestre
3.0 h/semana
1.5 h/semana
105.0 h/semestre
Objectivos
Complementa a formação em Análise Complexa, incluindo o teorema de Cauchy global, o teorema da aplicação de Riemann e resultados fundamentais sobre prolongamento analítico. Introduz o aluno à análise complexa no toro, incluindo o estudo das funções elípticas.
Programa
<i>Funções analíticas e Teorema de Cauchy Global:</i> Propriedades das funções analíticas, índice; Teoremas do módulo máximo, de Liouville, de Morera. Teorema fundamental da Álgebra. Teorema de Cauchy global. Funções Meromorfas e <i>Teorema dos Resíduos:</i> classificação de singularidades. Teorema dos resíduos (referência a regiões multiplamente conexas). Séries de Laurent. Aplicações. <i>Transformações Conformes:</i> definição e exemplos. Transformação de Möbius. Teorema de Riemann das aplicações conformes. Aplicações. <i>Prolongamento Analítico:</i> unicidade do prolongamento analítico directo. Teorema da reflexão de Schwartz. Prolongamento analítico ao longo de linhas. Teorema da monodromia - fronteiras naturais. <i>Funções Elípticas e introdução às Superfícies de Riemann: </i>períodos, recticulados e funções duplamente periódicas, construção de funções elípticas com zeros e polos dados; Conceito de superfície de Riemann, superfícies de Riemann do logarítmo e da raíz de um polinómio.
Metodologia de avaliação
Exame Final
Pré-requisitos
Componente Laboratorial
Princípios Éticos
Componente de Programação e Computação
Componente de Competências Transversais
Bibliografia
Principal
Functions of one complex variable