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Disciplina

Análise Complexa

Área

Área Científica de Análise Real e Análise Funcional > Análise Real e Análise Funcional

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Nível

A avaliação consiste em dois testes ou um exame. A classificação final poderá, ainda, ter uma componente de avaliação continua que será obtida através da realização de exercícios durante o semestre.

Tipo

Não Estruturante

Regime

Semestral

Carga Horária

1º Semestre

Aula Teórica (T): 4.0 h/semana

Trabalho Autónomo: 154.0 h/semestre

Créditos ECTS:

Objectivos

Aprofundar a formação em Análise Complexa, em particular introduzindo o Teorema de Cauchy global e estabelecendo resultados fundamentais sobre o prolongamento analítico. Iniciar o estudo das superficies de Riemann elípticas,incluindo o estudo das funções elípticas.

Programa

Funções analíticas e Teorema de Cauchy global: Propriedades das funções analíticas.Índice. Teorema do modulo máximo, Teorema de Liouville e Teorema de Morera. Teorema Fundamental da Álgebra. Teorema de Cauchy global. Funções meromorfas. Classificação de singularidades. Teorema dos resíduos em regiões multiplamente conexas. Representação de funções inteiras e meromorfas. Funções Harmónicas: Produtos infinitos. Produtos de Weierstrass. Factorização de Hadamard. Teorema de Mittag-Leffler. Funções harmónicas. Núcleo de Poisson. Fórmula de Poisson. Teorema de Schwarz-Poisson. Transformações conformes: Transformação de Möbius. Teorema da aplicação de Riemann. Aplicações. Prolongamento analítico: Unicidade do prolongamento analítico directo. Teorema da reflexão de Schwarz. Prolongamento analítico ao longo de linhas. Teorema da monodromia ? fronteiras naturais. Funções elípticas e introdução às superficies de Riemann: Períodos, reticulados e funções duplamente periódicas. Construção de funções elípticas com zeros e polos dados. Conceito de superfície de Riemann. Superficies elípticas.