Dissertação

Numerical methods for differential equations with non integer order derivatives EVALUATED

Consideramos um problema de valor inicial e de valores na fronteira para a equação de difusão de ordem não inteira no tempo com uma derivada de Caputo no tempo de ordem $ \alpha \in] 0,1 [$. Apresentamos os resultados de existência e unicidade para esse problema. Estudamos o tipo de solução com uma singularidade na origem no tempo, usando dois tipos de malhas temporais (uma uniforme e outra não uniforme). Aproximamos a solução do problema usando a aproximação L1 para a derivada fraccionária em relação ao tempo e a fórmula de diferenças finitas para a segunda derivada em relação ao espaço. Como a malha uniforme não apresenta bom desempenho em soluções com singularidades, dedicamo-nos mais na malha não uniforme para colmatar essa singularidade. Apresentamos a estabilidade e a convergência do esquema numérico. Concluímos que os resultados ótimos de convergência em relação ao tempo dependem do valor de graduação escolhido e do tipo de solução e apresentamos vários exemplos a ilustrar isso. Aplicamos os métodos a um problema do mundo real (a equação fracionária do cabo aplicada à Neurofisiologia) e apresentamos os resultados numéricos que confirmam as previsões teóricas para o problema da equação de difusão fracionária no tempo.
Derivada de Caputo, problema do valor inicial e de fronteira, método L1, malha não uniforme, singularidades, Neurofisiologia.

Novembro 22, 2019, 10:0

Publicação

Obra sujeita a Direitos de Autor

Orientação

ORIENTADOR

Maria Luísa Ribeiro dos Santos Morgado

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Professor Auxiliar

ORIENTADOR

Pedro Miguel Rita da Trindade e Lima

Departamento de Matemática (DM)

Professor Associado