Disciplina Curricular
Topologia Algébrica TAlg
Mestrado Bolonha em Matemática e Aplicações e Computação - MMAC 2021
Contextos
Grupo: MMAC 2021 > 2º Ciclo > Área Principal > Áreas de Especialização > Área de Especialização em Matemática > Área Científica > Álgebra e Topologia
Período:
Grupo: MMAC 2021 > 2º Ciclo > Área Principal > Áreas de Especialização > Área de Especialização em Matemática > Área Científica > Álgebra e Topologia
Período:
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Pré-requisitos
Conhecimentos de topologia geral; Grupos, Anéis e Módulos.
Objectivos
Saber calcular homologia e cohomologia de espaços usando equivalências de homotopia, sucessões exactas, decomposições celulares e as fórmulas de Künneth e dos coeficientes universais. Conhecer as aplicações básicas da teoria de homologia à topologia de espaços euclidianos e variedades.
Programa
Noções básicas: Tipo de homotopia. A propriedade da extensão das homotopias e critérios para equivalência de homotopia. Definição e propriedades básicas dos complexos CW. Homologia: Homologia singular e simplicial. Exemplos de cálculo. Invariância de homotopia. Excisão e propriedade de Mayer–Vietoris. Característica de Euler. Relação com o grupo fundamental. Fórmula dos coeficientes universais. Teoremas de separação e invariância de domínio. Aproximação simplicial. O Teorema do ponto fixo de Lefschetz. Cohomologia: O Teorema dos coeficientes universais. Definição e propriedades dos produtos cross e cup. A fórmula de Künneth para homologia. O produto cap. Variedades e dualidade: Orientações. Cohomologia de suporte compacto. Dualidade de Poincaré. Dualidade de Alexander e Lefschetz. Possíveis tópicos adicionais: (Co)homologia com coeficientes locais; Homologia de H-espaços e grupos de Lie; O Teorema de Leray–Hirsch e aplicações.
Metodologia de avaliação
Avaliação contínua, incluindo testes realizados nas aulas, e exame final.
Componente de Competências Transversais
A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.
Componente Laboratorial
Não aplicável.
Componente de Programação e Computação
Não aplicável.
Princípios Éticos
Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.