Disciplina Curricular

Superfícies de Riemann e Curvas Algébricas SRCA

Mestrado Bolonha em Matemática e Aplicações - MMAC 2021

Contextos

Grupo: MMAC 2021 > 2º Ciclo > Área Principal > Áreas de Especialização > Área de Especialização em Matemática > Área Científica > Geometria

Período:

Grupo: MMAC 2021 > 2º Ciclo > Área Principal > Áreas de Especialização > Área de Especialização em Matemática > Área Científica > Geometria

Período:

Peso

9.0 (para cálculo da média)

Pré-requisitos

Cálculo Diferencial e Integral III e Introdução à Análise Complexa.

Objectivos

Introduzir a teoria de Superfícies de Riemann e Curvas Algébricas como o fundamento para as ideias básicas da Geometria Algébrica sobre os números complexos. A abordagem do curso é geométrica.

Programa

Definição de uma superfície de Riemann: cartas complexas e estruturas complexas. Morfismos entre superfícies de Riemann. Exemplos básicos. Superfícies hiperelípticas; colagem. Funções holomorfas e meromorfas em superfícies de Riemann. Mapas holomorfos entre superfícies de Riemann. Propriedades globais de mapas holomorfos. O teorema de Riemann-Hurwitz. Formas holomorfas e meromofas. Integração em superfícies de Riemann. Os lemas de Poincaré e Dolbeault. O teorema dos resíduos. Divisores. Equivalência linear de divisores. Fórmula de Plücker. Espaços de funções e formas associados a um divisor. Curvas algébricas. O teorema de Riemann-Roch e a dualidade de Serre. Aplicações. Pré-feixes, feixes e cohomologia de Cech. Tópicos opcionais/adicionais: Singularidades de curvas algébricas. Classificação dos toros complexos. Fibrados invertíveis, o grupo de Picard e a variedade Jacobiana. Os teoremas de Abel e de Jacobi. Uniformização. Espaço de Teichmüller. Superfícies não compactas.

Metodologia de avaliação

Séries de Exercícios e/ou Exame Final, eventualmente complementados com exposições orais.

Componente de Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.

Componente Laboratorial

Não aplicável.

Componente de Programação e Computação

Não aplicável.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.

Disciplinas Execução

2021/2022 - 1º Semestre