Sumários
Continuidade pontual e limites. Exemplos.
6 março 2019, 08:30 • João Manuel Saldanha Palhoto de Matos
Continuidade pontual. Exemplos: \((x,y)\mapsto \left(\operatorname{arcsen}(|x|+|y|), e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}\right)\), \((x,y)\mapsto \frac{xy}{x^2+y^2}\), \((x,y)\mapsto \frac{x^2y}{x^2+y^2}\), \((x,y)\mapsto \frac{xy^2}{x^2+y^4}\). Utilização do critério de Heine e consideração de restrição de funções para provar não continuidade.
Continuidade
1 março 2019, 09:00 • João Manuel Saldanha Palhoto de Matos
Continuidade: definição, caracterização via sucessões, continuidade e composição de funções, continuidade das aplicações lineares, utilização da definição de continuidade para provar que \((x,y)\mapsto xy\) é contínua em \(\mathbb{R}^2\), continuidade dos polinómios e das funções racionais, exemplos adicionais,... , a não continuidade em \((0,0)\) da função definida por \[f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}, &\text{se \((x,y)\neq (0,0)\),} \\ 0, & \text{se \((x,y)=(0,0)\).}\end{cases}\]
Noções topológicas em \(\mathbb{R}^n\)
28 fevereiro 2019, 08:30 • João Manuel Saldanha Palhoto de Matos
Noções topológicas em \(\mathbb{R}^n\): \(\emptyset\) e \(\mathbb{R}^n\) como exemplos de conjuntos simultaneamente abertos e fechados, não existência de outros conjuntos simultaneamente abertos e fechados, o complementar de um aberto é fechado e vice-versa, uma bola aberta é aberta, uma bola fechada é fechada, caracterização de fechados via sucessões, determinação do interior, fronteira, fecho, exterior do domínio da função definida por \(f(x,y)=\frac{\sqrt{1-x^2-y^2}}{x+y}\).