Integral de Riemann. Teorema de Fubini

30 abril 2014, 08:00 • Ana Moura Santos

Recordar: construção do integral múltiplo a partir da pavimentação diádica de nível \(N\) com cubos em \(R^n\). Somas superiores e inferiores de Darboux/Riemann e os seus limites para pavimentações finas: integrais superiores e inferiores de Riemann. Definição do Integral de Riemann de \(f\) baseado na igualdade do integral superior e inferior de Riemann (a função \(f\) diz-se integrável à Riemann). Exemplo da construção do integral de \(f(x)=x\) no intervalo \([0,1[\). Partição diádica do intervalo/cubo de dimensão=1 e somas inferiores e superiores para cada partição de nível \(N\), integral inferior e integral superior (como limite das somas, quando o nível \(N\) da partição  tende para infinito), \(f(x)=x\) é integrável porque os dois integrais são iguais a 1/2.

Regras de integração: integral da soma de funções integráveis \(f+g\), integral do múltiplo \(k\) duma função integrável, \(kf\), ordenação do integral para \(f\leq g\), módulo do integral é sempre menor ou igual ao integral do módulo de \(f\), \(|f|\). Regra para o integral do produto de duas funções integráveis com variáveis distintas.

Função característica dum conjunto pavimentável (limitado). Volumes n-dimensionais: comprimento dum intervalo= \(vol_1\), área dum retângulo= \(vol_2\), volume duma caixa=\(vol_3\).

Enunciado do Teorema de Fubini.

 Ver: secção 4.5 do Capítulo 4 do livro aconselhado.