29ª Aula - Revisão de condições suficientes de integrabilidade à Riemann em termos de continuidade. Conjuntos compactos e Teorema de Heine-Borel. Sucessões de Cauchy e espaços completos. Motivação para principais propriedades de funções contínuas em conjuntos compactos

20 abril 2017, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Se f:I→ℝ e I⊂ℝⁿ é um intervalo limitado, são condições suficientes para f ser integrável à Riemann em I :
(1) f é uniformemente contínua em I .
(2) f é contínua em I e I é fechado.

Observação: O essencial da continuidade uniforme é poder passar de coberturas do domínio com um nº infinito de intervalos abertos para um nº finito, o que é uma ideia muito importante útil em diversas situações..

Definições: Cobertura aberta de conjunto, subcobertura, e conjunto compacto K (toda a cobertura aberta de K tem subcobertura finita de K).

Teorema de Heine-Borel:  Se K⊂ℝⁿ, então:  K é compacto ⇔ K é limitado e fechado.
(Dem.: (⇒) as bolas abertas centradas na origem de raios que são os nºs naturais cobrem K e como ∃ subcobertura finita a bola de tal subcobertura com o maior raio contém K , pelo que K é limitado; os complementares das bolas fechadas centradas num ponto a com raios recíprocos de nºs naturais cobrem ℝⁿ\{a} pelo que se a não pertence a K cobrem K e como ∃ subcobertura finita o conjunto de tal subcobertura que é o complementar da bola fechada com o menor raio contém K e, portanto pertence ao exterior de K, pelo que K é fechado. (⇒) supondo que ∃ cobertura aberta de K que não tem subcobertura finita, considerando um intervalo limitado e fechado que contém K e procedendo a subdivisões sucessivas de todas as arestas ao meio obtém-se sucessão de intervalos fechados que intersectados com K não são cobertos por um nº finito de elementos da cobertura considerada e que têm um único ponto em comum que pertence a K ; este ponto pertence a algum conjunto U da cobertura que, como é aberto, contém os subintervalos a partir de alguma ordem, o que é contraditório.

Observações:
(1) A noção de conjunto compacto só envolve conceitos de conjuntos e de conjunto aberto, pelo que pode ser considerada em espaços topológicos, mesmo que não sejam métricos. 
(2) A prova de (⇒) no Teorema de Heine-Borel não usou propriedades específicas de ℝⁿ, pelo que todo conjunto compacto (mesmo que seja subconjunto de um espaço métrico que não é ℝⁿ) é limitado e fechado. A prova de (⇐) usou duas propriedades específicas de ℝⁿ: produto cartesiano finito de ℝ e axioma do supremo em ℝ para provar que as extremidades das arestas dos subintervalos considerados convergem. Esta última propriedade pode ser substituída pela propriedade do espaço ser completo como ℝ é obtido completando ℚ e a 1ª propriedade pode ser substituída por K ser totalmente limitado, ou seja ∀_ε>0∃ conjunto finito F_ε tal que todos os pontos de K estão a distância <ε de um ponto de F_ε.

Definições: Um espaço linear normado (ou um espaço métrico) é completo se toda sucessão de Cauchy é convergente para um ponto do espaço. {u_k} é uma sucessão de Cauchy se ∀_ε>0∃_N∈ℕ k≥N⇒d(u_k,u_m)<ε.

Observações: 
(1) A condição de definição de sucessão de Cauchy difere da de sucessão convergente por comparar distâncias de termos da sucessão e não destes com o limite.
(2) ℚ não é completo, ℝ é completo. ℝ pode ser definido como o espaço que completa ℚ. 
(3) Todo espaço linear normado (ou espaço métrico) que não seja completo pode ser completado acrescentando-lhe elementos, como na extensão de ℚ para ℝ .

Proposição: Uma sucessão em ℝⁿ converge se e só se é uma sucessão de Cauchy. 
(Dem.: (⇒) é imediata das definições com a desigualdade triangular. (⇐) pode ser provada sem perda de generalidade para sucessões em ℝ ; uma sucessão de Cauchy {u_k} é limitada pelo que as sucessões monótonas v_m=inf{u_m,u_m+1,...} e w_m=sup{u_m,u_m+1,...} são limitadas e, portanto convergem para limites, resp., L₁, L₂; como a sucessão é de Cauchy, passando ao limite na condição de definição de sucessão de Cauchy ∀_ε>0 |L₁-L₂|<ε , pelo que L₁=L₂ e u_k→L₁=L₂ .

Observação: (⇒) é válida em geral em espaços métricos. (⇐) não é válida em geral; como se viu os espaços para que é válida chamam-se completos.

Motivação para propriedades principais de funções contínuas em conjuntos compactos:
Se f:K→ℝ^m é contínua num conjunto compacto K⊂ℝⁿ, então:
(1) Teorema de Heine-Cantor: f é uniformemente contínua.
(2) f(K) é compacto.
(3) f é injectiva ⇒ f é aplicação aberta (transforma abertos relativamente a K em abertos relativamente a f(K)).
(4) f é injectiva ⇒ f^-1 é contínua.