20ª Aula - Sucessões de Cauchy, espaços normados completos, Rn é espaço completo. Contracções, teorema de contracção, cálculo de aproximações de ponto fixo de contracção e de solução de equação correspondente
24 março 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Observação: Relação de inversão de função, resolução de equação e existência de ponto fixo de função.
Definições:
(1) Contracção (função que contrai distâncias).
(2) Sucessão de Cauchy.
(3) Espaço normado completo (espaço normado em que sucessões de Cauchy convergem).
Observações:
(1) ℚ não é completo e ℝ é completo.
(2) Qualquer espaço normado pode ser completado (semelhante a completar ℚ com ℝ).
Proposição: Teorema de contracção: Toda contracção Q num subconjunto fechado ∅≠F⊂ℝn tem um ponto fixo x*∈F; para todo u∈F, Qk(u)→u* exponencialmente.
Observações:
(1) O Teorema de Contracção dá um método numérico para obter sucessão de aproximações do ponto fixo (logo da solução da equação correspondente) por iteração sucessiva da contracção Q a partir de qualquer u∈F.
(2) O Teorema de Contracção pode ser aplicado em qualquer espaço normado completo, o que, por exemplo, é útil em espaços de funções, como no caso de equações diferenciais ou integrais.
(3) A noção de derivada e correspondentes aplicações pode ser considerada em espaço normados completos, inclusivamente para identificar extremos de funções com valores reais dependentes de funções em problemas de optimização em dimensão infinita de interesse prático em muitas aplicações.
(1) Contracção (função que contrai distâncias).
(2) Sucessão de Cauchy.
(3) Espaço normado completo (espaço normado em que sucessões de Cauchy convergem).
Observações:
(1) ℚ não é completo e ℝ é completo.
(2) Qualquer espaço normado pode ser completado (semelhante a completar ℚ com ℝ).
Proposição: ℝn com a norma canónica (ou equivalente) é um espaço completo.
Proposição: Teorema de contracção: Toda contracção Q num subconjunto fechado ∅≠F⊂ℝn tem um ponto fixo x*∈F; para todo u∈F, Qk(u)→u* exponencialmente.
Observações:
(1) O Teorema de Contracção dá um método numérico para obter sucessão de aproximações do ponto fixo (logo da solução da equação correspondente) por iteração sucessiva da contracção Q a partir de qualquer u∈F.
(2) O Teorema de Contracção pode ser aplicado em qualquer espaço normado completo, o que, por exemplo, é útil em espaços de funções, como no caso de equações diferenciais ou integrais.
(3) A noção de derivada e correspondentes aplicações pode ser considerada em espaço normados completos, inclusivamente para identificar extremos de funções com valores reais dependentes de funções em problemas de optimização em dimensão infinita de interesse prático em muitas aplicações.