14ª Aula - Diferenciabilidade de campos escalares ou vectoriais C1, teorema de valor intermédio com derivadas de 2ª ordem.
13 março 2015, 11:30 • Luis Magalhães
Proposição: Se um campo escalar ou vectorial é C1 (derivadas parciais de 1ª ordem existem e são contínuas) num subconjunto aberto D⊂ℝn, então é diferenciável em D.
Exemplo: Campo escalar em ℝ2 com derivadas parciais cruzadas D12f ≠ D21f num ponto.
Proposições: Teorema de valor intermédio com derivadas de 2ª ordem: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝ2 aberto, tem derivada D21f em D , a=(a1,a2) e h=(h1,h2) são tais que Rh=[a1,a1+h1]x[a2,a2+h2]⊂int D , então existe c∈Rh tal que [f(a1+h1,a2+h2) - f(a1+h1,a2)] - [f(a1,a2+h2) - f(a1,a2)] = D21f(c)h1h2.
Enunciado de Proposição:
Lema de Schwarz: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝn, Dif, Di,jf existem e Di,jf é contínua em a∈int D, em que i=(i1,...,ip)∈{1,...n}p,
j=(j1,...,jq)∈{1,...,n}q fixos, então Dj,if(a) existe e Dj,if(a)=Di,jf(a) .