25ª Aula - Produtos internos e espaços euclidianos: motivação, definição, noções básicas (projecção ortogonal, norma, ortogonalidade, ângulo) e desigualdade de Cauchy-Schwarz. Produtos internos canónicos em ℝn e ℂn. Matriz adjunta e cálculo de produtos internos canónicos com operações de matrizes. Conjunto ortonormal de vectores. Exemplos de produtos internos não canónicos em ℝn e consequências.

15 novembro 2016, 10:00 • Luis Magalhães

Produto interno: motivação geométrica com projecções ortogonais, definição (referência a simetria e simetria hermitiana para espaços lineares, respectivamente, reais e complexos). Espaço euclidiano é um espaço linear real ou complexo com produto interno.

Definições num espaço euclidiano: norma ou comprimento de vector, projecção ortogonal de vector sobre vector ≠0 , vectores ortogonais, ângulo entre vectores ≠0 .

Desigualdades de Cauchy-Schwarz.

Produtos internos canónicos em ℝⁿ e em ℂⁿ, cálculo de normas, ângulos, ortogonalidade e conjunto dos pontos equidistantes da origem (em ℝⁿ é uma superfície esférica no espaço n-dimensional; no caso de ℝ² é uma circunferência; no caso de ℝ³ é uma superfície esférica neste espaço).

Exemplos de produtos internos não canónicos em ℝ²: exemplos em que os vectores da base canónica têm comprimentos ≠1 e não são ortogonais, e em que os conjuntos de pontos equidistantes da origem são elipses, e modo de determinar essas elipses.