31ª Aula - Polinómios trigonométricos de Fourier e aproximações óptimas de funções por polinómios trigonométricos. Matrizes de Gramm. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas e semidefinidas (positivas e negativas), indefinidas. Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita por matrizes hermitianas definidas positivas. Determinação se matriz é de um dos tipos considerados por eliminação de Gauss e pivots.

25 novembro 2015, 14:00 • Luis Magalhães

Aproximações óptimas de funções reais contínuas num intervalo limitado e fechado por polinómios trigonométricos de Fourier: polinómio trigonométrico de ordem n, funções 1, sin kt, sin kt, k∈N, são ortogonais duas a duas no espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℝ) com produto interno ∫₀^2πfg  (prova com base na verificação da ortogonalidade das funções  e^ikt, k∈ℤ , no espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℂ)) , polinómio de Fourier de função f, referência a séries de Fouriear e ``a respectiva importância em aplicações e teoria.  

Matrizes de Gramm de múltiplo ordenado de vectores de espaço euclidiano. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas positivas (resp. negativas), semidefinidas positivas (resp. negativas), indefinidas. Prova de que matrizes de Gram são simétricas para espaços euclidianos reais (resp. hermitianas para espaços lineares complexos) e são definidas positivas.

Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita: são da forma <x,y>=Y*GX , com G matriz hermitiana (i.e. G=G*) definida positiva (i.e. Z*GZ>0 para todas matrizes coluna Z≠0 ), em que X,Y são as matrizes coluna com as componentes de, respectivamente, x,y numa base ordenada do espaço; G é a matriz de Gram dos vectores da base.

Uma matriz hermitiana é definida positiva se e só se é regular e a eliminação de Gauss (sem troca de linhas) dá pivots >0 em todas as linhas (e colunas). [Prova com a factorização triangular obtida com eliminação de Gauss e respectiva unicidade]. Resultados análogos para matrizes definidas negativas (pivots <0 em todas as linhas e colunas), semidefinidas positivas (pivots >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), semidefinidas negativas (pivots <0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), e indefinidas (pivots <0 e >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas).