35ª Aula - Propriedades e exemplos de cálculo de polinómios característicos, valores próprios, vectores próprios, espaços próprios, multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica, diagonalização com mudança de base, matrizes diagonalizantes. Definição de espectro.

9 dezembro 2015, 14:00 • Luis Magalhães

Teorema: Vectores próprios de valores próprios distintos de uma transformação linear são linearmente independentes.

Corolário: Se T∈L(V), com dim V=n finita tem n valores próprios distintos, então tem representação diagonal em alguma base (os elementos da diagonal principal são os valores próprios repetidos de acordo com multiplicidade algébrica e bases são de correspondentes vectores próprios, pela mesma ordem).

Observação: n valores próprios distintos é suficiente para existência de representação matricial diagonal, mas não é necessário (e.g. identidade).

Exemplos concretos de cálculo de polinómios característicos, valores próprios, vectores próprios, espaços próprios, multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica, diagonalização com mudança de base, matrizes diagonalizantes.

Exemplo de transformação linear sem representação diagonal em qualquer base.

Exemplo ilustrando a diferença de considerar valores próprios em espaços lineares reais e complexos. o conjunto dos valores próprios de transformação linear em espaço linear real pode ser vazio, mas em espaço linear complexo de dimensão finita é sempre não vazio (devido ao Teorema Fundamental da Álgebra).

Definição: espectro de T∈L(V), com V espaço linear complexo de dimensão finita e de matriz quadrada real ou complexa A , σ(T) e σ(A) .

Se A é matriz quadrada real ou complexa det A e tra A são, respectivamente, o produto e a soma dos valores próprios complexos repetidos de acordo com multiplicidade algébrica.

Se A é matriz quadrada real, os valores próprios não reais ocorrem em pares conjugados com a mesma multiplicidade algébrica de cada par conjugado.

Os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos na diagonal principal, com multiplicidade algébrica igual ao nº de respectivas repetições. Referência a respectivos vectores próprios.