10ª Aula - Continuação de operações de conjuntos com espaços lineares. Combinações lineares, expansões lineares, independência linear

6 outubro 2014, 10:00 • Luis Magalhães

O produto cartesiano de um conjunto numerável de espaços lineares reais com as operações definidas componente a componente é espaço linear real: prova e exemplos.

Uniões de subespaços lineares de um espaço linear podem não ser um espaço linear. Soma de subconjuntos de espaço linear: definição, a soma de subespaços lineares de um espaço linear é espaço linear e é o menor subespaço linear do espaço linear considerado que contém a união dos subespaços lineares.

Combinações lineares de vectores e de subconjuntos de espaço linear: definição e exemplos.

Expansão linear de ou espaço gerado por subconjunto não vazio de espaço linear. Definição de expansão linear do subconjunto vazio de um espaço linear como sendo {0}. A expansão linear de um subconjunto S não vazio de espaço linear V é um espaço linear; é o menor subespaço linear de V que contém S. Exemplos de expansão linear de conjuntos (R ² é gerado por dois (ou mais) vectores não colineares; uma recta em R² que passe na origem é gerada por um (ou mais) vectores diferentes de 0; o espaço linear dos polinómios reais de grau menor ou igual a nº natural n fixo pode ser gerado por n+1 (ou mais) polinómios (apropriados); o espaço linear de todos os polinómios reais pode ser gerado por um conjunto infinito numerável de polinómios (apropriados); o conjunto dos termos independentes b com componentes reais tais que existe pelo menos uma solução de sistema de equações lineares Ax=b, em que A é matriz mxn real, é o subespaço linear de R ^m gerado pelas colunas de A, a que se chama espaço das colunas de A; tem solução se e só se b pertence ao espaço das colunas de A; chama-se espaço das linhas de A ao espaço linear gerado pelas linhas de A).

Vectores/conjuntos linearmente independentes e vectores/conjuntos linearmente dependentes: definição, exemplos de determinação se vectores dados são linearmente independentes ou dependentes (vectores em R ⁿ e aplicação da resolução de sistemas de equações lineares; funções potência em espaços lineares de polinómios reais; sin at e cos at, com a não nulo 0 são linearmente independentes no espaço linear das funções reais de variável real; sin ²at, cos²at, 1 são linearmente dependentes nesse espaço).