Planeamento
Aulas Teóricas
Apresentação. Sistemas de Equações Lineares (SEL) e Matrizes
Apresentação do docente e manual de sobrevivência: objectivos da cadeira e avaliação.
Key words: SEL, Soluções e Matrizes
Equações lineares de n variáveis. SEL com m equações e n variáveis. Exemplos e interpretação geométrica. Soluções: única, infinitas soluções, nenhuma solução. Matriz dos coeficientes e matriz aumentada.
[Anton]: pp.1-5
MEG e Resolução de SEL
Matriz aumentada dum SEL mxn. Método de Eliminação de Gauss (MEG)= algoritmo para reduzir a matriz A mx(n+1) aumentada a uma matriz em escada de linhas (row -echelon form). Exemplos e contra-exemplos de matrizes em escadas de linhas. Pivots ou leading 1s = primeira entrada não-nula em cada linha. Exemplos de resolução de SEL com 3 equações a 3 incógnitas, usando a redução a escada de linhas,i.e., o MEG.
[Anton]: pp.5-12. Obs. o Método de Eliminação de Gauss-Jordan será introduzido mais tarde.
MEG. Matrizes e Operações Matriciais
As 3 operações válidas do MEG. Mais exemplos de resolução de SEL não-homogéneos e homogéneos, utilizando o MEG. Escolha das incógnitas livres, mediante as colunas que ficam sem pivot no final do MEG. Característica (rank) duma matriz= nº de pivots da matriz reduzida (no final do MEG). Conclusão importante: um SEL homogéneo com menos equações do que incógnitas é sempre possível e indeterminado (tem infinitas soluções).
Um modelo matricial para um grafo de ligação entre 3 cidades. Operações matriciais: soma de matrizes, produto escalar dum número por uma matriz. Combinação linear de matrizes num exemplo.
[Anton]: pp.14-27Produto Matricial e Matriz Inversa
Operação produto de matrizes. Propriedades das operações matriciais: soma, multiplicação por escalar e produto matricial. Matriz nula como elemento neutro da soma matricial. Matriz identidade e matriz inversa.
[Anton]: pp. 27-31, pp.37-41
Matrizes elementares e Inversão de Matrizes
Teorema da invertibilidade de matrizes 2x2. Unicidade da inversa e inversa do produto de matrizes. Matriz transposta e propriedades da transposta da soma, do múltiplo escalar, do produto e da inversa.
Matrizes elementares e operações sobre as linhas (recordando o MEG). Exemplos de matrizes elementares 3x3. Propriedade 1 das elementares: ao multiplicarem à esquerda por uma matriz A mxn realizam a operação elementar do MEG sobre as linhas de A. Propriedade 2 das elementares: toda a matriz elementar é invertível. Método para encontrar a inversa duma matriz A nxn, reduzindo-a através do produto à esquerda por elementares à matriz identidade.
[Anton]: pp. 42-43, pp. 45-54
Invertibilidade e SELs
Método de Eliminação de Gauss-Jordan (MEG-J). Matriz na forma reduzida de escada de linhas. Matriz inversa pelo MEG-J. Critério de não-invertibilidade para A: encontramos pelo menos uma linha nula durante o MEG-J.
Consequências da invertibilidade da matrix dos coeficientes A nxn na resolução do SEL homogéneo, Ax=0, e do SEL não-homogéneo, Ax=b com b diferente da matriz nula. Teorema das equivalências. Modelo do fluxo de transito entre dois cruzamentos em diferentes dias da semana.
[Anton] pp. 54-56, pp.59-62
Potências de matrizes e grafos. Matrizes simétricas
Potência zero e positiva duma matriz nxn. Potência da matriz inversa, quando A é invertível. Grafos dirigidos ou orientados. Matriz do grafo e caminhos de comprimento -k dados pelas entradas da potência k da matriz do grafo. Grafos de dominância: quem é o vencedor?
Definição de matriz simétrica. Exemplo e forma quadrática associada a uma matriz simétrica.
[Anton] p. 44, pp. 587-597, pp. 69-71
Definição de determinante e Propriedades
Definição (construtiva) de determinante para matrizes A nxn com n=1, n=2, n=3, n=4, etc. Primeiras propriedades do determinante: det A=0 sse A não é invertível, det A=0 se A tem uma linha nula ou uma linha múltipla doutra, det A=det A^T. Com esta última propriedade todas as propriedades para as linhas são também válidas para as colunas.
Definição de matrizes triangulares (superiores e inferiores). O determinante duma matriz triangular é o produto das entradas na diagonal principal. Determinante de matrizes elementares.
[Anton]: pp. 89-90 e 104-105
Cálculo do determinante, usando o MEG. Mais propriedades
Determinantes dos 3 tipos de matrizes elementares. Cálculo do det B, sendo B=EA, com E matriz elementar de um dos 3 tipos. Exemplo do cálculo do determinante, usando o MEG, i.e. os valores dos determinantes das matrizes elementares e da matriz reduzida a uma escada de linhas (triangular superior).
Mais propriedades do determinante: det (k A)=k^n det A; determinante duma matriz, em que uma das linhas é a soma de duas linhas como a soma de dois determinantes; determinante do produto; determinante da inversa.
SELs da forma Ax=\lambda x. Valores próprios (va.p.) e vectores próprios (ve.p.). Equação característica. Exemplo de cálculo de va.p. e ve.p.
[Anton]: pp. 90-100
Aplicações do Determinante
Valores próprios lambda como as raízes do polinómio característico p(lambda). Vectores próprios associados como as soluções não-triviais de (lambdaI-A)x=0.
Teorema das equivalências para A nxn invertível: acrescentámos duas alíneas (det(A) não é zero e lambda=0 não é va.p. de A).
Cofactores e menores. Matriz dos cofactores e matrz adjunta. Fórmula para a matriz inversa. Regra de Cramer.
[Anton]: pp. 100-112
Espaço Euclideano R^n
Vectores generalizados e sistemas de coordenadas ortogonais. Área dum paralelepípedo e volume dum paralelogramo. Vector soma e múltiplo escalar. Propriedades da soma e da multiplicação por um escalar. Produto interno de vectores de R^n e norma ou comprimento dum vector.
Espaço Euclideano. Transformações de R^n para R^m
Produto interno: definição e propriedades. Norma e distância: definição e propriedades. Desigualdade de Cauchy-Schwarz e ortogonalidade de vectores de R^n.
Transformações T de R^n para R^m: multiplicação pela matriz A mxn como uma acção sobre vectores de R^n que gera vectores de R^m. Domínio ou conjunto de partida (R^n), conjunto de chegada (R^m) e transformados ou imagens (por T) dos vectores do domínio. Exemplos.
[Anton] pp.162-168, p.173-174
Transformações lineares de R^n para R^m
Transformações lineares T de R^n para R^m: (i) T(u+v)=T(u)+T(v); (ii) T(ku)=kT(u), com u e v vectores de R^n e k escalar real. Vectores que pertencem ou não pertencem à imagem da transformação. Problema da existência e unicidade. Exemplos.
[Anton] pp. 173-176, 192
Matriz canónica da transformação. Geometria em R^2
Propriedades fundamentais duma transformação linear T: o transformado da origem do domínio de T é o vector origem no conjunto de chegada; o transformado duma combinação linear de inputs é a combinação linear dos outputs.
Teorema da representação matricial canónica única: a matriz A que representa a transformção T nas bases canónicas de R^n e R^m é única e tem os transformados dos vectores da base canónica de R^n em coluna.
Reflexões rescalonamentos e rotações em R^2.
[Anton] pp. 176-182, pp. 192-193
Computação gráfica 2-D
Composição de transformações lineares. Exemplos em R^2 e R^3.
Manipulação duma letra com computação gráfica. Coordenadas homogéneas e translação de figuras. Demonstração do Flash com manipulação gráfica de figuras 2-d.
[Anton] pp.182-185, pp.626-631
Invertibilidade de transformações. Va.p e ve.p. associados de T
Definição de transformação injectiva (one-to-one), sobrejectiva (onto) e bijectiva ou isomorfismo. Teste da injectividade: verificar se o núcleo (kernel) é trivial. Teste da sobrejectividade: verificar se a imagem (range) é coincidente com o espaço de chegada. Teorema das equivalências.
Valores próprios e vectores próprios (associados) das transformações lineares. Aspectos geométricos em exemplos: rotação em R^2 e projecção em R^3.
[Anton] pp.189-192, pp. 194-197
Espaço vectorial
Definição de espaço vectorial: conjunto de vectores generalizados, soma e multiplicação por escalar. Exemplos.
Definição de subespaço. Exemplos e contra-exemplos.
[Anton] pp.204-214
Subespaços e Expansão Linear
Os 3 axiomas de subespaço linear: o vector nulo pertence ao conjunto, o fecho da soma e o fecho da multiplicação por um escalar.
Recordámos o conceito de combinação linear e definimos expansão linear como o conjunto de todas as combinações lineares dum conjunto finito de vectores. Mostrámos que uma expansão linear (span) é sempre subespaço linear. Exemplos em R^n e nos polinómios.
[Anton]: pp. 211-217
Bases e dimensão
Espaço gerado (span) por um conjunto de vectores. Exemplos de subespaços gerados em R^4. O menor conjunto (L.I.) que ainda gera o subespaço. Definição de base para W: i) conjunto L.I.; ii) conjunto gerador de W. Exemplos. Definição de dimensão.
[Anton]: pp. 216-219, pp. 221-233
Propriedades das Bases e Vector de Coordenadas
Exemplos de bases em espaços R^n, P_n, M(mxn,R). Determinação da dimensão. Teorema da representação única de um vector numa base. Vector de coordenadas. Aspectos geométricos do vector de coordenadas em diferentes bases: grelhas diferentes para ler o mesmo vector.
[Anton]: pp. 231-243
Subespaços de uma Matriz A_mxn
Espaço nulo ou núcleo duma matriz: coincide com o conjunto solução do SEL homogéneo Ax=0. O núcleo duma matriz A_mxn é um subespaço de R^n. Demonstração paralela com a demonstração de que o núcleo duma transformação linear é subespaço linear do conjunto de partida.
Espaço das colunas duma matriz: combinação linear das colunas da matriz. Um vector está no espaço das colunas duma matriz A_mxn sse Ax=b é um SEL possível (determinado ou indeterminado). O espaço das colunas duma matriz A_mxn é um subespaço de R^m (resulta da própria definição). A imagem duma transformação linear coincide com o espaço das colunas da matriz canónica.
Espaço das linhas duma matriz: combinação linear das linhas da matriz. O espaço das linhas duma matriz A_mxn é um subespaço de R^n.
Exemplos.
[Anton]: pp. 246-257, pp. 264-268
Sinais Discretos e Cadeias de Markov
Verificação para sinais discretos L.I.: constrói-se a matriz de Casorati e verifica-se a sua invertibilidade.
Definição de cadeias de Markov: matriz estocástica, de transição ou de Markov e vectores de probabilidade ou de estado. Modelo de mobilidade populacional entre Lisboa e os arredores. Estado estacionário ou de equilíbrio para matrizes de Markov regulares.
[Anton]: pp. 576-585
Propriedades dos Subespaços de A_mxn
Recordar a definição de característica e nulidade duma matriz. Teorema da dimensão.
[Anton]: pp. 259-263
Nota: Na seguinte página de Davide Cervone
http://www.math.union.edu/~dpvc/professional/projects.html
podem encontrar muitas visualizações de objectos a 3d. Chamo especialmente a atenção para os seguintes links especialmente interessantes para Álgebra Linear:
Computer Graphics in Mathematical Research: http://www.math.union.edu/~dpvc/TFB/ICMS-poster/
Some Notes on the Fourth Dimension: http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/welcome.html
Para Além da Terceira Dimensão: http://alem3d.obidos.org/pt/
Espaços Vectoriais Euclideanos
Definição de produto interno, p.i., generalizado num espaço vectorial V: função de VxV em R que verifica os axiomas da simetria, aditividade, homogeneidade e positividade.
Definição de norma (comprimento) dum vector, distância entre dois vectores e ortogonalidade de dois vectores.
Exemplo do espaço vectorial euclideano R^n com o p.i. usual. Norma dos vectores da base canónica e ortogonalidade dos vectores da base canónica dois a dois.
Exemplo do R^2 com um p.i. não-usual (pesado). Verificação de que se trata dum p.i. (verificação dos 4 axiomas). Consequências geométricas dum p.i. não-usual: as normas dos vectores da base canónica são diferentes de um, a circunferência unitária "parece" uma elipse. O que se mantém: os vectores da base canónica continuam a ser ortogonais, o Teorema de Pitágoras continua válido.
A matriz associada ao p.i.
[Anton]: p. 276-281
Espaços Vectoriais Euclideanos-cont.
Exemplo do espaço vectorial euclideano de matrizes 2x2 com entradas reais e com o p.i. usual. Norma dos vectores da base canónica e ortogonalidade dos vectores da base canónica dois a dois. Distância entre duas matrizes. Esfera unitária neste espaço.
Exemplo do espaço vectorial euclideano de polinómios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais e com o p.i. usual. Norma dos vectores da base canónica e ortogonalidade dos vectores da base canónica dois a dois. Distância entre dois polinómios. Esfera unitária neste espaço.
Exemplo do espaço vectorial euclideano de polinómios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais e com o p.i. não-usual dado pelo integral.
Definição de ângulo entre dois vectores dum espaço vectorial euclideano.
[Anton] : pp. 281-284, p. 287
Complemento ortogonal dum subespaço
Revisão dos axiomas envolvidos num espaço euclideano. Desigualdade triangular (para normas e distâncias) e desigualdade de Cauchy-Schwarz. Exemplos em espaços de matrizes e polinómios com o p.i. usual. Definição de complemento ortogonal dum subespaço e propriedades: é subespaço linear; o ortogonal do ortogonal é o próprio subespaço; o vector nulo é o único vector que está simultaneamente num subespaço e no seu complemento ortogonal. Exemplo para encontrar bases para o complemento ortogonal, em que se usa o facto dos complemento ortogonal das linhas duma matriz ser o núcleo da matriz.
[Anton] : pp. 287-293
Teorema das Equivalências. Bases ortonormais
Discussão promenorizada do Teorema das equivalências para matrizes invertíveis e transformações lineares representadas por estas matrizes.
Definição de conjuntos ortogonais e ortonormais. Base canónica de R^4 e construção doutra base ortonormal para R^4, partindo dum conjunto ortogonal de vectores de R^4. Teorema da projecção: representação de qualquer vector dum espaço euclideano como a soma do vector projecção num subespaço mais o vector projecção no subespaço complemento ortogonal.
[Anton] : p. 294 e 344, pp. 298-303
Bases Ortonormais e Ortogonalização de Gram-Schmidt
Teorema das bases ortonormais: todo o espaço vectorial euclideano diferente do espaço nulo tem uma base ortonormal.
Ortogonalização de Gram-Schmidt: algoritmo que permite construir uma base ortonormal para o espaço vectorial euclideano. Exemplo de construção em R^3.
Matrizes P de projecção ortogonal sobre um subespaço e suas propriedades: P^2=P, P^T=P, lambda=0 e lambda=1 são va.p. de P. Exemplos: projecção na recta gerada por (cos( theta), sen (theta)) e na recta gerada por (1,1,1).
[Anton] : pp. 303-305, 315-318
Valores próprios e vectores próprios
Recordar: equação aos valores próprios e vectores próprios . Aspectos geométricos dos va.p. e ve.p. reais. Possibilidade de existirem va.p. complexos (aos pares complexo-conjugados). Teorema Fundamental da Álgebra: todo o polinómio carcterístico duma matriz A_nxn possui n raízes (podem ser repetidas e podem ser reais e/ou complexas)
[Anton] : pp. 338-344
Diagonalização de Matrizes
Problema da existência duma base de n vectores próprios equivalente ao problema de diagonalização duma matriz A_nxn. Definição de A diagonalizável: quando existe uma matriz invertível P t.q. o produto P^(-1)AP resulta numa matriz diagonal (com os va.p. de A na diagonal). Teorema: A_nxn é diagonalizável sse existir uma base de ve.p. de A para R^n. Demonstração da necessidade. Exemplos de duas matrizes A_4x4, uma diagonalizável e outra não. Propriedade: ve.p. associados a va.p. distintos formam um conjunto L.I. Matrizes A_nxn com n va.p. distintos são diagonalizáveis. Noção de multiplicidades algébrica e geométrica.
[Anton] : pp. 338-353
Diagonalização Ortogonal de Matrizes
Definição e exemplos de matrizes ortogonais. Propriedades de matrizes ortogonais: as inversas, as transpostas o produto de ortogonais são matrizes ortogonais, o determinante é igual a 1 ou a -1, conservam as normas dos vectores.
Matrizes simétricas, A=A^T nxn, e problema da diagonalização ortogonal, que é equivalente ao problema da existência duma base ortonormal de ve.p. para R^n. Processo de diagonalização ortogonal de matrizes. Exemplo em R^3.
[Anton] pp. 320-322, pp.357-360
Formas Quadráticas. Transformações Lineares Generalizadas
Aplicação da diagonalização ortogonal às formas quadráticas: definição de forma quadrática e exemplos em R^2 e R^3. Exemplo de diagonalização duma forma quadrática em R^3. Mudança de variável para as variáveis que eliminam os termos cruzados. Formas quadráticas definidas positivas e p.i.
Transformações lineares entre espaços vectoriais generalizados. Núcleo e imagem duma transformação linear generalizada. Injectividade e sobrejectividade duma transformação linear. Exemplo duma transformação entre espaços de matrizes.
[Anton] pp. 454-467, pp.367-383
Matriz que Representa a Transformação Dadas Bases na Partida e na Chegada
Matriz M(T,B,B') que representa a transformação T dadas bases B e B' no espaço de partida e no espaço de chegada, respectivamente. Estudo do núcleo e imagem duma transformação linear generalizada com base na matriz M(T,B,B'). Injectividade e sobrejectividade duma transformação linear. Invertibilidade. Exemplo duma transformação entre espaços de polinómios invertível com dedução da inversa e dos va.p. e ve.p..
[Anton] pp. 382-386, pp.390-399
Similaridade de Matrizes
Sabendo que estudar propriedades duma matriz diagonal é mais simples, qual a relação entre a matriz diagonal D (caso diagonalizável) e a matriz canónica A que representa uma transformação? Exemplo da transposição de matrizes 2x2. A matriz ortogonal P, diagonalizante relativamente a A (P^TAP=D), representa a Matriz Mudança de Base da base ortonormal de ve.p. para a base canónica. Exemplo do respectivo diagrama comutativo. A matrizes A e D dizem-se similares e têm em comum: o polinómio característico, os va.p., o determinante, o traço, a característica, a nulidade, a invertibilidade (ou não).
[ Anton]: pp. 402-407