Sumários
Funções racionais. Transformações de Moebius.
2 outubro 2017, 09:00 • Paulo Sérgio De Brito e Silva dos Anjos Lopes
Funções racionais. Relação com as funções meromorfas. Esfera de Riemann. Singularidades em infinito. Transformações de Moebius (TM). Automorfismos analíticos na esfera de Riemann. TM conjugadas. Decomposição das TM em transformações elementares. Imagem de uma circunferência na esfera de Riemann por uma TM. Pontos fixos de uma TM. Razão cruzada e propriedades. Construção de uma TM. Simetria em relação a uma circunferência na esfera de Riemann.
Teorema dos resíduos. Princípio do argumento.Teorema de Rouché. Estimativas para os zeros de um polinómio.
27 setembro 2017, 14:00 • Paulo Sérgio De Brito e Silva dos Anjos Lopes
Singularidades isoladas. Teorema da remoção das singularidades de Riemann. Parte principal de uma função num ponto. Classificação de singularidades isoladas. Teorema de Casoratti-Weierstras. Funções meromorfas. Teorema dos resíduos. Princípio do argumento. Teorema de Roché (versão fraca e versão simétrica). Teorema fundamental da álgebra com estimativa para os zeros. Resultados sobre localização dos zeros de um polinómio.
Polinómios. Fórmulas integrais de Cauchy. Teo- rema de Cauchy. Teoremas de Taylor, Laurent e Liouville.
25 setembro 2017, 09:00 • Paulo Sérgio De Brito e Silva dos Anjos Lopes
Teorema de Marden. Integral segundo um caminho. Primitiva de uma função. Teorema fundamental do cálculo para funções primitiváveis. Comprimento de uma linha e desigualdade de Darboux. Índice de um caminho relativo a um ponto. Propriedades do índice. Teorema de Cauchy para regiões convexas. Fórmulas integrais de Cauchy. Teorema de Taylor. Equivalência entre holomorfia e analiticidade em qualquer aberto. Teorema de Liouville. Teorema de Morera. Séries de Laurent. Teorema de Laurent.
Resultados fundamentais para funções analíticas. Polinómios.
20 setembro 2017, 14:00 • Paulo Sérgio De Brito e Silva dos Anjos Lopes
Séries duplas. Série binomial. Função analítica. Diferenciabilidade das analíticas. Funções elementares. Teorema da função inversa. Teorema da aplicação aberta. Princípio da separação dos zeros. Princípio da identidade. Princípio do módulo máximo. Teorema fundamental da álgebra. Teoremas de Lucas e Gauss-Lucas.
Introdução. Terminologia e resultados básicos.
18 setembro 2017, 09:00 • Paulo Sérgio De Brito e Silva dos Anjos Lopes
O Corpo dos complexos. Noções topológicas. Regiões e regiões simplesmente conexas. Sucessões. Caracterização dos conceitos toplógicos através de sucessões. Completude dos complexos. Primeiro contacto coma esfera de Riemann. Funções complexas de variável complexa. Funções contínuas e respectivas propriedades básicas. Exemplos de funções com linhas de descontinuidade. Função diferenciável num ponto. Função holomorfa num ponto e holomorfa num aberto. Condições de Cauchy-Riemann. Aplicações conformes. Conformalidade das funçõs holomorfas de derivada não nula. Séries de potências formais. Operações entre séries formais. Critério de Weierstrass. Primeiro teorema de Abel (da convergência de séries formais). Segundo teorema de Abel.