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Disciplina

Topologia Algébrica

Área

Área Científica de Álgebra e Topologia > Álgebra e Topologia

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Nível

Avaliação contínua, incluindo testes realizados nas aulas, e exame final.

Tipo

Não Estruturante

Regime

Semestral

Carga Horária

1º Semestre

Aula de Problemas (PB): 5.0 h/semana

Trabalho Autónomo: 182.0 h/semestre

Créditos ECTS:

Objectivos

Saber calcular homologia e cohomologia de espaços usando equivalências de homotopia, sucessões exactas, decomposições celulares e as fórmulas de Künneth e dos coeficientes universais. Conhecer as aplicações básicas da teoria de homologia à topologia de espaços euclidianos e variedades.

Programa

Noções básicas: Tipo de homotopia. A propriedade da extensão das homotopias e critérios para equivalência de homotopia. Definição e propriedades básicas dos complexos CW. Homologia: Homologia singular e simplicial. Exemplos de cálculo. Invariância de homotopia. Excisão e propriedade de Mayer–Vietoris. Característica de Euler. Relação com o grupo fundamental. Fórmula dos coeficientes universais. Teoremas de separação e invariância de domínio. Aproximação simplicial. O Teorema do ponto fixo de Lefschetz. Cohomologia: O Teorema dos coeficientes universais. Definição e propriedades dos produtos cross e cup. A fórmula de Künneth para homologia. O produto cap. Variedades e dualidade: Orientações. Cohomologia de suporte compacto. Dualidade de Poincaré. Dualidade de Alexander e Lefschetz. Possíveis tópicos adicionais: (Co)homologia com coeficientes locais; Homologia de H-espaços e grupos de Lie; O Teorema de Leray–Hirsch e aplicações.

Metodologia de avaliação

Avaliação contínua, incluindo testes realizados nas aulas, e exame final.

Pré-requisitos

Conhecimentos de topologia geral; Grupos, Anéis e Módulos.

Componente Laboratorial

Não aplicável.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.

Componente de Programação e Computação

Não aplicável.

Componente de Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.