Programa

Topologia

Licenciatura Bolonha em Matemática Aplicada e Computação

Programa

Construções básicas: Definição de topologia. Fecho, interior. Subespaços. Espaços métricos. Funções contínuas. Topologia produto, topologia quociente. Exemplos incluindo as superfícies. Conexidade: Espaços conexos e conexos por arcos. Teorema do valor intermédio. Componentes. Espaços localmente conexos. Compacidade: Espaços compactos. Teorema de Heine-Borel. Teorema de Weierstrass. Enunciado e exemplos do Teorema de Tychonoff. Caracterização dos compactos nos espaços métricos. Espaços métricos completos. Teorema de Baire. Axiomas de separação: Axiomas de numerabilidade. Espaços Hausdorff e normais. O Lema de Urysohn e o Teorema de Tietze. Grupo fundamental: Definição do grupo fundamental e de revestimento. Dependência do ponto de base. A propriedade do levantamento único dos caminhos e das homotopias. A acção do grupo fundamental na fibra de um revestimento. O grupo fundamental da circunferência. Aplicações. Teorema de Van Kampen: Grupos definidos por geradores e relações. Soma amalgamada de grupos. O Teorema de Seifert-Van Kampen. Exemplos de cálculo. O Teorema de Classificação das superfícies. Revestimentos: O critério de levantamento. O Revestimento universal. O grupo de transformações do revestimento. Classificação dos revestimentos. Possíveis tópicos adicionais: Espaços de funções e o Teorema de Ascoli; Espaços de Banach e os teoremas fundamentais da Análise Funcional; Redes e filtros; Compactificações; Paracompacidade e Teoremas de metrização; Teorema da curva de Jordan; Teoria da dimensão; Introdução à Teoria dos Nós. Homologia e a característica de Euler.