MATEMÁTICA COMPUTACIONAL

SUMÁRIOS DAS AULAS

TURNO DAS   Segundas  e quartas:

1º Teste – 13 de Novembro de 2014 (às 19h)
2º Teste – 18 de Dezembro de 2014 (às  19h)
Exame: 12 de Janeiro de 2015 (às 15h)

Feriados: 8 de Dezembro (2ª)

Semana 1

aula 1- 15 Set 2ª Apresentação do programa da cadeira, bibliografia e método de avaliação.
 Modelos físicos e modelos matemáticos. Exemplos. Erro absoluto e erro relativo.

aula 2 –17 Set  4ª Representação de números num computador. Sistemas de vírgula flutuante 
Arredondamento simétrico e por corte.  Unidade de arredondamento.

Semana 2

aula 3 -22 Set 2ª Propagação dos erros de arredondamento: fórmula de propagação dos erros  num cálculo funcional. Fórmula geral para funções de várias variáveis. Exemplo.

Exemplos de algoritmos instáveis. O cancelamento subtractivo.  Número de condição. Exemplo de problema mal condicionado.

aula 4 – 4ª 24 Métodos iterativos para equações não lineares. Localização e separação das raízes: análise  gráfica e análise teórica. Exemplo. O método da bissecção e respectiva fórmula de erro. Ilustração com a equação  cos x-x=0.

Semana 3

aula 5 –2ª 29 Cap 2.  Definição de pontos fixos de uma função.  Interpretação geométrica e exemplos. Sucessão gerada por uma função g. Resultado de convergência qdo g é continua.

aula 6 –4ª 1 Out  Teorema do ponto fixo (enunciado e demonstração). Aplicação do  teorema do ponto fixo a um exemplo. Fórmulas de erro.

Semana 4

aula 7 –2ª 6 Out Conclusão do assunto da aula anterior. Convergência local e divergência. Pontos fixos repulsores e atractores . Convergência monótona e alternada.

aula 8 –4ª  8 Out Rapidez e ordem de convergência duma sucessão. Análise da ordem de  convergência do método do ponto fixo: convergência linear  e convergência supralinear. Teorema geral da ordem de convergência. Exemplos.  

Semana 5

aula 9 –2ª  13 Out  O método de Newton: dedução geométrica. Critérios suficientes de converg.

aula 10  - 4ª  15  Out Fórmula do erro do método de Newton. Exemplo. Ordem de convergência do método de Newton. O método da secante.

AULA DE EXERCíCIOS-  quarta feira- 16h30-18h30

Semana 6

aula 11 –2ª 20 Out  Capítulo 3- Sistemas de equações. Normas vectoriais e normas matriciais  induzidas. Raio espectral.

aula 12 –4ª   22 Out  Condicionamento de sistemas de equações  lineares. Número de condição de uma matriz.  Previsão do erro na solução do sistema Ax=b quando o vector b está afectado de erro. Exemplos. 

Semana 7

aula 13 – 2ª  27 Out  Introdução aos  métodos iterativos para sistemas lineares Ax=b: os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.   Ilustrar que met Jacobi é da forma x^{(k+1)} = C_J x^{(k)} + d. Obtenção de métodos iterativos  para sistemas lineares Ax=b através da decomposição A=M+N. Casos particulares: métodos de Jacobi e  Gauss-Seidel. Confirmar com ex. no caso do met. de Jacobi.

 

aula 14 –4ª 29 Out  Análise da convergência dos métodos iterativos  da forma:  x^{(k+1)} = C x^{(k)} + d. Condição suficiente de convergência baseada na norma da matriz C; fórmulas de erro. Aplicação a um exemplo. Condição necessária e suficiente de convergência baseada no raio espectral da matriz C (com demonst).  Exemplos em que este critério é útil.

Semana 8

  aula 15 – 2ª 3 Nov Matrizes de diagonal estritamente dominante. Critérios suficientes de convergência para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, no caso em que a matriz do sistema dado, Ax=b, é de diagonal  estritamente dominante por linhas ou por colunas. Convergência do método de Gauss-Seidel quando A é simétrica definida positiva. Sistemas de equações não  lineares: o método de Newton.

  Fim da matéria para o teste 1

aula 16—4ª  5 Nov Cap.4: Aproximação de funções.
  4.1 Interpolação polinomial: a fórmula de Lagrange.

Semana 9

aula 17—2ª 10 Nov  Fórmula de Newton com diferenças divididas. Exemplo.

 

 aula 18 –4ª  12 Nov REvisoes

Semana 10

1º Teste 13 Nov 19h   quinta feira

aula 19— 2ª 17 Nov  4.2   Fórmula do erro de interpolação. Aplicação. Relação entre diferenças divididas e derivadas (fórmula). Interpolação por polinómios de grau elevado: o exemplo de Runge.

aula 20—4ª 19 Nov O método dos mínimos quadrados: aproximação de dados discretos.  Resolução de um exemplo:  obtenção da recta dos minimos quadrados pela definição directa de minimização da norma do

desvio (sistema de estacionaridade). O sistema de equações normais no caso geral (discreto), em termos de produtos internos.

Semana 11

aula 21—–2ª  24 Nov Cap.5 : Integração numérica. Introdução: fórmulas de quadratura de tipo interpolatório.
Fórmulas de Newton-Cotes:  a regra dos trapézios simples e sua fórmula de erro.  A regra dos trapézios composta.

Aula 22 – 4ª 26 Nov Fórmula de erro da regra dos trapézios composta.Exercicios. A regra de Simpson simples e composta (introdução)

Semana 12

 aula 23—2ª 1 Dez A regra de Simpson composta (concl.). Formulas de erro.  Exercicios.

 Aula 24 – 4ª  3 Dez  Grau de precisão duma regra de quadratura. O método dos coeficientes indeterminados. Exercício. 

Semana 13

Aula 25 – 2ª Introduçao ao Cap 6  Problemas de valor inicial: alguns exemplos. Resultado de existência e unicidade de solução. O método de Euler. Erro local. Exemplos de aplicação do método de Euler.

aula 25—4ª  10  Dez Fórmula de erro global e definição de ordem. Met Taylor de ordem 2.

aula 26—2ª 15  Dez - Métodos de Runge-Kutta. Exemplos.

Fim da matéria para o teste 2.

Semana 14

aula  27—4ª 17 Dez  – Exercícios de revisão.

2º Teste  18 Dezembro

21 Dezembro- fim do prazo para entrega de projectos.