Programa

Fundamentos de Topologia e Análise Real

Mestrado Bolonha em Matemática e Aplicações e Computação

Programa

1. Espaços métricos: Noções fundamentais. Funções contínuas e convergência. Contabilidade e separabilidade. Espaços métricos completos. Espaços métricos compactos, caracterizações equivalentes. Teorema de Heine-Borel. Convergência uniforme e Teorema de Ascoli-Arzela. Tópicos opcionais: Teorema de Baire. Continuidade uniforme e teorema de Heine-Cantor. 2. Espaços topológicos: Propriedades elementares, bases. Subespaços. Axiomas de contabilidade e separação. Funções contínuas; homeomorfismos. Topologias produto e quociente. Espaços conexos e conexos por arcos, componentes. Teorema do valor intermédio. Espaços compactos. Teorema de Weierstrass. Espaços localmente compactos; compactificação a 1-ponto. Teorema de Tychonoff. Lema de Urysohn e Teorema de Tietze. Tópicos opcionais: Redes e filtros. Grupo fundamental. Mergulhos e teorema de metrização de Urysohn. 3. Espaços de medida: oções fundamentais, -aditividade. Medidas exteriores, construção de Caratheodory. Teorema de extensão de Hahn. Medidas de Lebesgue-Stieljes. Conjuntos Lebesgue mensuráveis e Borel mensuráveis; regularidade. Medidas com sinal, decomposições de Hahn e Jordan. Tópicos opcionais: Medidas de Radon e dualidade. Medidas de probabilidade. 4. Integral em espaços de medida: Funções mensuráveis e integráveis, aproximação por funções simples. Integral de Lebesgue. Teoremas de convergência. Diferenciação de medidas, continuidade absoluta e teorema de Radon-Nikodym. Teorema de diferenciação de Lebesgue e os teoremas fundamentais do cálculo. Integração no espaço produto, teorema de Fubini-Lebesgue. Tópicos opcionais: Teoremas de Lusin e Egoroff. Modos de convergência; convergência em medida. 5. Introdução aos espaços Lp : Desigualdades de Hölder e Minkowski, convergência e completude. Funcionais lineares contínuos. Dualidade. Tópicos opcionais: Convolução. Transformação de Fourier.