Planeamento
Aulas Teóricas
1ª Aula Teórica
Breve apresentação do programa, blibliografia e método de avaliação.
2ª Aula Teórica
Topologia de R^n: revisão das noções de produto interno e norma em R^n; definição de bola
aberta, interior, exterior, fronteira e fecho de um subconjunto de R^n. Subconjuntos fechados
e subconjuntos abertos; exemplos.
3ª Aula Teórica
Sucessões em R^n; convergência de sucessões; Teorema de Bolzano Wierstrass.
4ª Aula Teórica
Funções de R^n em R^m; gráfico e conjuntos de nível.
5ª Aula Teórica
Definição de limite de uma função num ponto; limites direcionais; Definição de continuidade e propriedades básicas de funções contínuas.
6ª Aula Teórica
Exemplos sobre limites e continuidade de funções f:R^n->R^m.
7ª Aula Teórica
Definição de derivadas parciais e derivada direcional; definição de função diferenciável; relação entre diferenciabilidade e continuidade.
8ª Aula Teórica
Relação entre deferenciabilidade e continuidade; funções de classe C^1; exemplos.
9ª Aula Teórica
Exemplos sobre o estudo de diferenciabilidade das funções em R^n e Teorema de derivação da função composta.
10ª Aula Teórica
Regra da cadeia; soma produto e quociente de funções diferenciáveis; exemplos.
11ª Aula Teórica
Vetor tangente a um subconjunto de R^n; Propriedades do gradiente de um campo escalar: perpendicular
aos conjuntos de nível e dá direção de crescimento máximo do campo.
12ª Aula Teórica
Definição de derivadas parciais de ordem superior à primeira. Definição de função de classe C^2. Lema de Schwarz. Exemplos.
13ª Aula Teórica
Fórmula de Taylor de ordem 2 para campos escalares em R^n; exemplos.
14ª Aula Teórica
Definição de ponto de extremo local para campos escalares em R^n; ponto de estacionariade e ponto de sela; aplicação da fórmula de Taylor de ordem 2 ao estudo de extremos.
15ª Aula Teórica
Exemplos de estudo de extremos de campos escalares em R^n.
18ª Aula Teórica
Teorema da função implícita: exemplos e demonstração.
19ª Aula Teórica
Definição de variedade diferenciável em R^n; exemplos.
20ª Aula Teórica
Espaço tangente e espaço normal a uma variedade diferenciável em R^n; plano tangente e plano normal passando por um ponto da variedade; exemplos.
21ª Aula Teórica
Extremos condicionados: condição necessária para ponto de extremo.
22ª Aula Teórica
Método dos multiplicadores de Lagrange; Teorema de Weirstrass. Exemplos.
23ª Aula Teórica
Exemplos de aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange ao estudo de extremos condicionados.
24ª Aula Teórica
Parametrizações de variedades-m em R^n; aplicação ao cálculo do espaço tangente; exemplos.
25ª Aula Teórica
Introdução à integração em R^n: motivação, integral de funções em escada e definição de integral.
26ª Aula Teórica
Critério de integrabilidade; linearidade do integral; Teorema de Fubini; exemplos.
27ª Aula Teórica
Conjuntos mensuráveis; cálculo de volume n-dimensional de um subconjunto de R^n. Exemplos.
28ª Aula Teórica
Revisôes para o primeiro teste.
17ª Aula Teórica
Exemplos de aplicação do teorema da função inversa. Teorema da função implícita: exemplos.
29ª Aula Teórica
Revisôes para o primeiro teste.
30ª Aula Teórica
Revisôes para o primeiro teste.
31ª Aula Teórica
Revisôes para o primeiro teste.
32ª Aula Teórica
Aplicação do teorema de Fubini ao cálculo de integrais múltiplos: exemplos.
33ª Aula Teórica
Transformações de coordenadas: motivação, definição e exemplos - coordenadas polares em R^2:
34ª Aula Teórica
Transformações de coordenadas: definição e teorema de mudança de variáveis; exemplos: coordenadas polares e coordenadas cilíndricas.
35ª Aula Teórica
Teorema de Mudança de Variáveis: coordenadas esféricas.
36ª Aula Teórica
Teorema de Mudança de Variáveis: exemplos.
37ª Aula Teórica
Regra de Leibnitz; exemplos.
16ª Aula Teórica
Teorema da Função Inversa; exemplos.
38ª Aula Teórica
Integral de um campo escalar numa curva: definição e exemplos.
39ª Aula Teórica
Integral de um campo escalar numa curva: mais exemplos.
40ª Aula Teórica
Integrais de campos escalares em superfícies: fórmula alternativa e exemplos. Exemplos.
41ª Aula Teórica
Integrais de linha de campos vectoriais; definição e exemplos. Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha; campos gradientes (conservativos): exemplos.
42ª Aula Teórica
Exemplos de aplicação da regra de Leibnitz e de cálculo de integrais em R^3.
43ª Aula Teórica
Relação entre campos fechados e gradientes: exemplo de um campo fechado que não é um gradiente.
Condição necessária para um campo vetorial ser um gradiente.
44ª Aula Teórica
Invariância de homotopia para integrais de campos fechados. Domínios simplesmente conexos: relação entre campos fechados e gradientes em domínios simplesmente conexos. Exemplos
45ª Aula Teórica
Teorema de Green: exemplos e esboço da demonstração; aplicação: invariância de homotopia para integrais de campos fechados em R^2.
46ª Aula Teórica
Exemplos: campos gradientes; integrais de campos vetoriais em R^n; aplicações do teorema de Green.
47ª Aula Teórica
Superfícies orientáveis: definição e exemplos. Fluxo de um campo vectorial através de uma superfície orientável: definição e exemplos.
48ª Aula Teórica
Domínio regular em R^3; divergência de um campo vetorial em R^3; Teorema da divergência: enunciado e exemplos.
49ª Aula Teórica
Teorema da Divergência: exemplos: fluxo do campo eléctrico gerado por uma carga pontual.
50ª Aula Teórica
Bordo de uma superfície orientável; orientação induzida no bordo; Teorema de Stokes; exemplos.
51ª Aula Teórica
Domínios conexos-2; relação entre campos de divergência nula e campos rotacionais. Cálculo do potencial vector de um campo rotacional.
52ª Aula Teórica
Aplicação dos Teoremas de Stokes e da Divergência para o cálculo do fluxo de um campo rotacional.
53ª Aula Teórica
Exercícios de revisão para o 2º teste.
Aulas de Problemas
1ª Aula
Exercícios da 1ª Ficha: Esboço de conjuntos em R^n.
2ª Aula
Exercícios da 1ª Ficha: Interior, exterior e fronteira de conjuntos em R^n; conjuntos limitados e conjuntos compactos de R^n; cálculo de limites e estudo da continuidade de funções.
3ª Aula
Exercícios da 2ª Ficha: derivadas parciais; derivadas segundo um vector; diferenciabilidade.
4ª Aula Prática
Resolução de exercícios da 2ª Ficha: Teorema da derivação da função composta; regra da cadeia.
5ª Aula
Resolução de exercícios da 3ª ficha: Regra da cadeia no cálculo de segundas derivadas. Classificação de extremos de campos escalares.
6ª Aula
Resolução de exercícios da 3ª ficha: Teorema da função inversa e teorema da função implícita
7ª Aula
Resolução de exercícios da 4ª ficha: Variedades; espaço tangente e espaço normal.
8ª Aula
Resolução de exercícios da 4ª ficha: Extremos condicionados. Revisões para o teste.
9ª Aula
Resolução de exercícios da 5ª ficha: Integrais múltiplos.
10ª Aula
Resolução de exercícios da 5ª ficha: Integrais múltiplos.
11ª Aula
Resolução de exercícios da 5ª ficha: Cálculo de integrais múltiplos usando mudanças de coordenadas.
12ª Aula
Resolução de exercícios da 6ª ficha: cálculo de Integrais de linha de campos escalares e de campos vectoriais.
13ª Aula
Resolução de exercícios da 6ª e 7ª fichas: Campos gradientes e cálculo de potenciais. Teorema de Green; invariancia de integrais de campos fechados ao longo de curvas homotópicas. Integrais de campos escalares sobre superfícies.
14ª Aula
Resolução de exercícios da 7ª Ficha: Cálculo de fluxos pela definição. Teorema da divergência. Teorema de Stokes.