52ª Aula - orientação de variedade-2 em ℝ3 e variedade-2 orientável; exemplo de variedade-2 não orientável (banda de Möbius). Referência a spin de matriz antisimétrica 3x3 com componentes reais e relação de rotacional com spin da aparte antisimétrica de matriz jacobiana. Enunciado do T. de Stokes e prova em vizinhança de coordenadas de superfície C2 em ℝ3. Extensão dos TFC a variedades com cantos. Invariância de divergência e rotacional com transformações de coordenadas. Referência a aplicações do TFC. Anulação do fluxo de um rotacional contínuo numa variedade-2 compacta em ℝ3.

28 maio 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Lista dos vários casos do T.Fundamental do Cálculo que foram obtidas: (1) Regra de Barrow (1670),(2) Para integrais de linha, (3) T.de Gauss (1889), (4) T.de Green (1851), (5) T.de Stokes para superfícies em ℝ ³ (1869), (6) T. da Divergência para integrais múltiplos em ℝ ⁿ (1889); obtivemos (3) e (4) como casos particulares de (6) e (5) como aplicação de (6).

Definição: Diz-se que uma variedade-2 M em ℝ ³ é orientável se existe um campo vectorial contínuo de normais unitárias a M ,  i.e.  n:M→ℝ ³ tal que  n( x)⊥T_xM , ||n( x)||=1 . Diz-se que  n define uma orientação de M .

Observações:
(1) Se g:V→ℝ³ é uma parametrização de uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-2 em ℝ³, então g(V) é orientável e a orientação induzida por g é n(x) = (D₁gxD₂g)/||D₁gxD₂g|| (g^-1(x)) , logo, as variedades-2 são localmente orientáveis.
(2) Há variedades-2 em ℝ³ não orientáveis, como por exemplo uma banda de Möbius.

(3) Referência a matrizes antisimétricas e spin. rot f é spin de 2 vezes parte antisimétrica da matriz jacobiana , i.e. 2[(1/2)(Df-(Df)^t] .

(4) Na prova do T. de Stokes obteve-se com o T. de Green: se D é domínio regular de vizinhança de coordenadas de variedade-2 C² M em ℝⁿ parametrizada por g:D→ℝⁿ C², então ∫∫_g-1(D) (D₂g)^t[(Df)-(Df)^t](D₁g) = ∮_∂Df·dβ, em que β=g∘α e α é caminho que descreve g^-1(∂D) no sentido antihorário.

T de Stokes (TFC para integrais em variedade-2 de ℝ³): Se M⊂ℝ³ é uma variedade C² orientável, com orientação n , A⊂M é um domínio regular em M , f é um campo vectorial C¹ em A com valores em ℝ³, β designa caminho(s) regular(es) simples fechados que representam o bordo ∂A , então ∫_Arot f·n = ∮_∂Af·dβ .
Dem. do T. de Stokes: 

(1) localmente para funções com suporte numa vizinhança de coordenadas de M feito quando se motivou e obteve uma fórmula para o rotacional, baseado na aplicação do T. de Green e na parametrização da vizinhança de coordenadas. 
(2) globalmente (tal como para o T. da Divergência usam-se partições da unidade para juntar as contribuições locais).Como A é compacto tem cobertura admissível finita ℱ={U ₁, ..., U _N} tal que o resultado é válido para funções com suporte em cada um dos U _j . Se Ψ={ψ ₁,..., ψ _N} é partição da unidade finita em D subordinada a ℱ, com supp ψ _j ⊂ U _j , de (1) é ∑ _j ∫ _Arot(ψ _j  f)·n = ∑ _j ∮ _∂A(ψ _j f) ·d β  = ∮ _∂A f·d β  . Como rot(ψ _j  f) = ∇ψ _jx f + ψ _j rot  f , é ∮ _∂A f·d β = ∫ _A∇(∑ _jψ _j)x f + ∑ _j ∫ _Aψ _j rot  f·n = ∫ _Arot  f·n , pois ∇(∑ _jψ _j)=∇1=0 .

Observações:
(1) T. de Stokes (n=3, m=2): ∫_Drot f·n = ∮_∂Df·dβ, o integral de linha no bordo ∂D do domínio regular D de variedade-2 em ℝ³ no sentido positivo ou antihorário quando visto do lado para onde aponta a orientação n de D.
(2) Notação (e mnemónica de cálculo): div f=∇·f e rot f=∇xf .
(3) No T. de Stokes ∂D pode ser desconexo para D domínio regular numa variedade-2 em ℝ³, assim como no T. da Divergência para D domínio regular em ℝ³ (e no T. de Green em que ∂D pode ser uma união de curvas fechadas simples). Exemplos de uma porção de superfície cilíndrica de revolução com bordo união de duas circunferências desconexas e de domínio regular desconexo no plano.
(4) O TFC também é válido para domínios regulares D com cantos, ou seja com ∂D uma variedade com cantos (que estende a ideia de caminho seccionalmente regular (para m=1)), ou seja uma variedade-m M com cantos em ℝⁿ é união finita M=M₁∪···∪M_N de variedades-m em ℝⁿ com bordos que são uniões finitas de variedades- (m-1) em ℝⁿ com bordos que satisfazem a correspondente propriedade sucessivamente até chegar a variedades-1. (a prova baseia-se na aproximação uniforme de um domínio regular com cantos em ℝⁿ D por uma sucessão de domínios regulares e na obtenção do TFC para o domínio regular com cantos por passagem ao limite, observando que os bordos das variedades-(m-1) em que se decompõe ∂D têm medida-(m-1) nula). Em consequência, a hipótese da variedade-2 ser C² pode ser omitida.
(5) Considerando para um ponto a∈ℝ³ domínios regulares D_ε de variedades-2 M em ℝ³ tais que a∈D_ε com área V₂(D_ε)→0 quando ε→0 , como se f é C¹ então rot f é contínua, obtém-se que rot f(a)·n(a) é o limite da circulação de f (do trabalho de f se é um campo de forças) em torno de a em curvas regulares simples fechadas contidas em variedades-2 que contêm a e têm plano tangente em a normal a n, quando a linha fechada tende para a . Logo, rot f·n é uma entida "intrínseca".
(6) div f=∇·f e rot f·n=(∇xf)·n são operadores diferenciais intrínsecos (invariantes sob transformações de coordenadas).
(7) volumes podem ser calculados por integrais de superfície e áreas podem ser calculadas por integrais de linha com campos com divergência 1. Referência a curvímetros como instrumentos usados em cartografia que permitem calcular áreas de conjuntos planos limitados por curvas fechadas simples uma vez "passados" sobre essas curvas. 

Proposição: Em qualquer variedade-2 M compacta em ℝ³ orientável o fluxo do rotacional de qualquer campo vectorial C¹ em M é 0 (semelhante ao integral de linha do gradiante de qualquer campo C¹ sobre curvas regulares simples fechadas ser 0 ).
(Dem.: Escolher um ponto na variedade, e em torno dele um caminho regular fechado simples g . A variedade fica separada pela curva correspondente em duas componentes conexas M₁, M₂ e, do T. de Stokes, o fluxo do rotacional numa destas é o integral de linha sobre o caminho e sobre a outra é o simétrico, pelo que o fluxo em M é a soma dos dois integrais de linha, logo 0).