8ª Aula - Revisão: Aspectos de limites de funções de várias variáveis reais; continuidade de funções obtidas com operações com campos escalares contínuos. Exemplos de determinar conjuntos de pontos de continuidade de campos escalares com propriedades de operações. Continuidade de funções definidas com operações de campos vectoriais. Caracterização topológica de continuidade, preimagens de subconjuntos de espaços de chegada de funções, conjuntos abertos relativamente a um conjunto que os contém.
1 março 2019, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão Uma função de várias variáveis reais pode ter um mesmo limite sobre todas as rectas que passam num ponto sem ter limite nesse ponto (por haver algum outro modo de aproximação desse ponto no domínio da função em que a função não converge ou converge para outro valor (exemplo dado antes). Pode ser útil uma transformação de variáveis para passar de uma função a outra em que seja mais fácil calcular o limite (exemplo dado antes). Somas, produtos, quocientes em pontos em que o denominador é ≠0 de campos esclares contínuos são funções contínuas.
Exemplos: Continuidade de campos escalares concretos em ℝn, incluindo definição e continuidade de polinómios em n variáveis reais.
Proposição: Somas, produtos internos e produto externo (se espaço de chegada é ℝ3), são funções contínuas.
Proposição: Composições fog de campos escalares ou vectoriais g contínuo num ponto a e f contínuo em g(a) são contínuos em a .
Exemplos: Determinação de domínio, conjunto de pontos de continuidade e conjunto máximo de extensão por continuidade de campos escalares ou vectoriais, com aplicação das propriedades de continuidade com operações.
Caracterização topológica de continuidade de f:D→ℝm, com D⊂ℝn.
Ilustração gráfica da ideia,
Definições:
(1) Preimagem ou imagem inversa de conjunto A⊂ℝm por f:D→ℝm é f-1(A)={x∈D: f(x)∈A} ;
(2) Diz-se que S⊂D⊂ℝn é aberto relativamente a D se existe um conjunto abertoU⊂ℝn tal que S=U∩D.
Proposição: f:D→ℝm com D⊂ℝn é contínua se e só se preimagens de subconjuntos abertos de ℝm são conjuntos abertos relativamente a D.
Observações:
(1) Este resultado é uma caracterização topológica de continuidade. Pode ser adoptada para estender a definição de funções contínuas a espaços topológicos não métricos.
(2) O resultado pode ser aplicado para determinação de conjuntos abertos ou fechados com base em funções contínuas.
(3) Uma função pode não ser invertível, mas existem sempre preimagens dos subconjuntos do resp. espaço de chegada. Uma função é invertível se e só se as preimagens de subconjuntos singulares do espaço de chegada não vazias são subconjuntos singulares do domínio.