40ª Aula - Revisão: Tranformação de coordenadas e mudança de variáveis de integraçõ. Exemplos de aplicações do TMVI, incluindo obtenção do coeficiente escalar a usar na densidade de probabilidade da distribuição normal, conjunto com volume finito mas com secção plana de "área" infinita; cálculo do volume-n de uma esfera n-dimensional em ℝn de raio R (cresce até n=5 e decresce, pouco para n=6, mas depois muito rapidamente). Referência a que mudanças de variáveis para coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas não são transformações de coordenadas em todo o espaço, mas podem ser usadas em todo o espaço porque o que fica de fora tem medida nula.
7 maio 2019, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão: Definição: Transformação de coordenadas em T⊂ℝn é função g:T→ℝn, injectiva C1 com derivada injectiva.
Teorema de mudança de variáveis de integração em ℝn (TMVI): Se T⊂ℝn é aberto, g é uma transformação de coordenadas em T , X⊂g(T) é mensurável e (f∈L(X) ou (f∘g)|det Dg|∈L(g-1(X))), então ∫Xf =∫g-1(X)(f∘g)|det Dg| .
Exemplo: f(x,y)=e-(x2+y2) em S=[0,+∞[2. Do T. Fubini, ∫Sf=[∫0+∞e-x2dx]2 e com TMVI para coordenadas polares ∫Sf = ∫0π/2∫0+∞e-r2r dr = π/4 . Logo, ∫ℝe-x2dx = 2 ∫0+∞e-x2 =π1/2. Obteve-se este integral de dimensão 1 mesmo sem conhecer a primitiva da função integranda em termos de funções elementares do cálculo. n(x)=Ke-x2 é a função densidade de probabilidade da distribuição normal de média μ=0 e variância σ2=1/2 para K tal que ∫ℝn=1 ; obtém-se K=1/π1/2. Com mudança de variáveis x=(y-μ)/(21/2σ) obtém-se 1= [1/π1/2] ∫0+∞e-(y-μ)2/(2σ2) [1/(21/2σ)] dy = (1/ [σ(2π)1/2]) ∫0+∞e-(y-μ)2(2σ2)dy, em que a função N(μ,σ2)(y) = (1/ [σ(2π)1/2]) e-(y-μ)2/(2σ2) é a densidade de probabilidade da distribuição normal de média μ e variância σ2.
Exemplos:
(1) fa(x)=1/||x||a com a>0 definida em S=B1(0)⊂ℝ2 . TMVI com coordenadas polares dá para o volume do conjunto de ordenadas vol O(fa) = ∫Sf = ∫02π ∫01(1/ra) r dr dθ = 2π ∫011/ra-1dr = 2π/(2-a) para a<2 e não existe para a≥2 , enquanto para a área da secção plana que contém o eixo de simetria obtém-se 2 ∫011/ra dr = 1/(1-a) se a>1 e não existe ("área" infinita) se a≥1. Logo, para 1≤a<2 O(fa) tem volume finito 2π/(2-a) enquanto a "área" da sua secção plana que passa no eixo de simetria é infinita! (analogamente, em ℝn em vez de ℝ2 O(fa) tem volume finito se e só se a<n e aplicam-se observações análogas a secções por subespaços lineares de dimensão <n).
(2) Cálculo do volume (n dimensional) da esfera de raio R em ℝn com o TMVI: V(n)(R) =RnV(n)(1) e (com T. Fubini e mudança para coordenadas polares) V(n)(1) =(2π/n)V(n-2)(1) , pelo que o volume da esfera de raio 1 cresce de dimensão 1 a 5 e decresce para dimensões superiores, tendendo para 0 rapidamente.
Observação: As mudanças de variáveis correspondentes a coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas não são transformações de coordenadas em todo o espaço, mas sim no complementar de um conjunto de medida nula e como funções C1 transformam conjuntos de medida nula em conjuntos de medida nula as correspondentes imagens também têm medida nula, pelo que estas mudanças de variáveis podem ser usadas em integração sem problemas apesar de não serem transformações de coordenadas em todo o espaço, mas pode-se ir um pouco mais longe.