39ª Aula - Revisão: T. de Fubini e motivação de T. de Tonelli. Prova do T. de Tonelli. T. de Mudança de Variáveis de Integração (TMVI) para integrais múltiplos (enunciado e prova).  Observação: hipótese de integrabilidade no TMVI na função na nova variável em vez de na variável original. Exemplo de aplicação das regras de derivação da função composta e de Leibniz para derivar uma função definida por um integral paramétrico com extremo de integração dependente do parâmetro. Exercício para casa sobre convolução.

6 maio 2019, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão:Teorema de Fubini: Se A⊂ℝ^m, B⊂ℝ^p são intervalos e f∈L(AxB) , então ∫_AxBf = ∫_A∫_B f_x dx = ∫_B∫_A f^y dy , em que  todos estes integrais existem (o 2º em cada termo q.t.p. no intervalo de integração do 1º), com f_x(y)=f(x,y), f^y(x)=f(x,y). Teorema de Tonelli: Se A⊂ℝ^m, B⊂ℝ^p são intervalos, f∈M(AxB) , e pelo menos um dos integrais iterados ∫_A∫_B|f_x|dx = ∫_B∫_A|f^y|dy existe, então f∈L(AxB) . (Dem. aproximação por sucessão de funções f_k=min(s_k,!f!) em que s_k é k no intervalo [-k,k]^m+p e 0 fora deste intervalo, e TCM).

(Dem.: Como usualmente S(I)→U(I)→L(I) , em que a 1ª e a última são imediatas. A do meio é fácil com o TCM e utilizando a proposição seguinte). Com a propriedade: Se S⊂ℝ^mxℝ^p tem medida nula, então as secções S^x={y∈ℝ^p: (x,y)∈S} e S_y={x∈ℝ^m: (x,y)∈S} têm medida nula q.t.p, resp., para x∈A  e y∈B (Apesar de parecer natural, este resultado tem de ser provado. Uma prova relativamente simples usa o TCM).

Definição: Transformação de coordenadas em T⊂ℝⁿ é função g:T→ℝⁿ, injectiva C¹ com derivada injectiva.

Teorema de mudança de variáveis de integração em ℝⁿ (TMVI): Se T⊂ℝⁿ é aberto, g é uma transformação de coordenadas em T , X⊂g(T) é mensurável e f∈L(X) , então  ∫_Xf = ∫_g^-1(X) (f∘g) | det Dg | . 
(Dem.: em passos sucessivos:
(1) Se válido para f=1 e X intervalo limitado , então válido para  f∈L(X)  (S(X)→U(X)→L(X) com TCD) ;
(2) Válido para f=1, X intervalo limitado e g transformação linear injectiva (volume de paralelepípedo g(X) é |det Dg| em que Dg é a representação matricial de g na base canónica);
(3) Se válido para transformações de coordenadas k e h , então válido para h∘k (regra de derivação da função composta);
(4) Se é válida versão local em ℝⁿ, então é válida versão global em ℝⁿ para o mesmo  n∈ℕ, em que versão local é ∀_x∈X∃ intervalo U_x⊂g(T) tal que é válido com X=Ux ((a) se X é compacto, passar de cobertura aberta por intervalos U_x para subcobertura finita, considerar partição finita definida pelas extremidades das arestas dos intervalos e aplicar aditividade em relação ao domínio de integração; (b) se X não é compacto, como é aberto é união numerável de subconjuntos compactos, aplicar (a) e aditividade-σ);
(5) É válida a versão geral em ℝⁿ para n∈ℕ (indução em n e decomposição g=h∘k com h que mantém última componente e muda as outras e k que mantém todas as componentes menos a última e aplicar (3) e T. Fubini).

Observação: Quando se aplica o TMVI calcula-se o integral na nova variável (lado direito da igualdade) mas a hipótese do teorema é a integrabilidade na variável original. Dá jeito verificar a integrabilidade na nova variável porque se vai calcular esse integral, ou seja que h=(f∘g) |det Dg|∈L(g^-1(X)) , que pode ser substituída como hipótese do TMVI porque aplicando a este integral a transformação de coordenadas g^-1 o TMVI dá ∫_g^-1(X)h = ∫_g(g^-1(X))(h∘g^-1) |det Dg^-1|=∫_X (f∘g∘g^-1) |(det Dg)∘g^-1| |det Dg^-1|= ∫_Xf .

Exemplo: Regra de derivação de F(y) = ∫_a^g(y) f(x,y) dx , com x, y, g(y), f(x,y) reais. Com G(z,y) = ∫_a^z f(x,y) dx é F(y)=G(g(y),y) . Da regra da cadeia: F´(y) = f(g(y),y) g'(y) + ∫_a^g(y) (∂f/∂y)(x,y) dx desde que x↦f(x,y) seja contínua e ∂f/∂y, ∫_a^g(y) (∂f/∂y)(x,y) dx  existam.  

Exercício para trabalho de casa de aplicação de mensurabilidade, T. de Tonelli e T. de Fubini: 

Se f,g∈L(ℝ) define-se convolução de f com g por f✶g(y)=∫_ℝf(y-x) g(x) dx . Prove que:
(a) f✶g tem domínio ℝ .
(b) f✶g∈L(ℝ) .
(c)  f✶g=g✶f , f✶(g✶h)=(f✶g)✶h ,  f✶(g+h)=(f✶g)+(f✶h)