7ª Aula - Revisão: Estratégias para averiguar existência e calcular limites. Limites iterados. Determinação de limites com coordenadas polares. Continuidade de transformações lineares. Definição de funções polinomiais de várias variáveis reais. Continuidade de somas, produtos e quocientes por campos escalares em pontos em que denominador não é nulo.
28 fevereiro 2019, 13:00 • Luis Magalhães
Revisão: 3 estratégias para limites,
f:D→ℝ, D⊂ℝ
n,
a∈D' :
(1) se é possível garantir que
f é contínua em
a sem calcular o limite em
a , lim
a
f=
f(
a) ;
(2) para provar lim
x→a
f(
x)=
b
, majorar ||
f(
x)-
b||≤g(
x) com lim
ag=0 ;
(3) para provar que lim
a
f não existe, encontrar uma sucessão
x
k→
a com
x
k≠
a em D para que limite de {f(
x
k)} não exista ou outra sucessão
y
k→
a com
y
k≠
a em D com limite diferente.
Exemplos concretos de inexistência de limite e de cálculo de limite. Exploração de simetrias e de mudanças de variáveis.
Limites iterados: se diferentes não há limite; se iguais é inconclusivo.
Exemplos com limites iterados.
Exemplo de utilidade de coordenadas polares na determinação de limites.
Proposição: Toda transformação linear de ℝn em ℝm é contínua em ℝn (Dem. majoração de ||f(x)-f(a)|| a partir de representação matricial de f nas bases canónicas).
Exemplos: Determinação de continuidade em exemplos concretos de campos escalares e vectoriais que são transformações lineares
Proposição: Somas, produtos e quocientes de campos escalares contínuos num ponto a (no caso de quocientes com denominador ≠0 em a) são contínuos em a .