9ª Aula - Revisão de conjunto aberto ou fechado relat. a um subconjunto de ℝn que o contém e da caracterização topológica de continuidade. Exemplos de conjuntos abertos ou fechados relat. a um conjunto que os contém e propriedades gerais de conjuntos relat. abertos ou fechados. Conjuntos conexos e conjuntos desconexos. Aplicações de preimagens de conjuntos abertos (resp., fechados) por funções contínuas serem conjuntos abertos (resp., fechados) relat. ao domínio, incluindo conjuntos de nível de campos escalares, conjuntos em que os valores são maiores (ou menores) do que um dado valor, e gráficos de funções.

7 março 2019, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Subconjunto de ℝⁿ aberto (resp. fechado) relativamente a um subconjunto de ℝⁿ que o contém. Caracterização topológica de continuidade: f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ é contínua se e só se a preimagem por f de qualquer aberto em ℝ^m é aberto relativamente ao domínio D (ilustração geométrica). Esta propriedade pode ser usada para definir funções contínuas em espaços topológicos não métricos.

Exemplos: Conjuntos em ℝ² que não são abertos nem fechados em ℝ² e são abertos relat. a um D₁⊂ℝ² e fechados relat. a um D₂⊂ℝ².  Conjuntos em  ℝ² abertos relat. a um conjunto D⊂ℝ². Conjuntos em  ℝ² fechados relat. a um conjunto D⊂ℝ². 

Proposições: Seja D⊂ℝⁿ.
(1) D é aberto e fechado relativ. a D .
(2) Se D é aberto (resp., fechado), então S⊂D é aberto (resp., fechado) relat. a D se e só se S é aberto (resp. fechado) em ℝⁿ. 
(3) S⊂D é aberto (resp., fechado) relat. a D se e só se D\S é fechado (resp., aberto) relat. a D . 
(4) Uniões (resp., intersecções) de subconjuntos de ℝⁿ abertos (resp., fechados) relat. a um D⊂ℝⁿ são conjuntos abertos (resp. fechados) relat. a D ; 
(5) Intersecções (resp., uniões) finitas de subconjuntos de ℝⁿ abertos (resp., fechados) relat. a um D⊂ℝⁿ são conjuntos abertos (resp. fechados) relat. a D .
(6) Preimagens por função contínua de conjuntos fechados são conjuntos fechados relat. ao domínio da função.

Observação: ℝⁿ e ∅ são os únicos subconjuntos de ℝⁿ simultaneamente abertos e fechados em ℝⁿ. Se D⊂ℝⁿ e D≠ℝⁿ, D e ∅ são simultaneamente abertos e fechado relat. a D, mas pode haver outros subconjuntos de D simultaneamente abertos e fechados; exemplo.

Definição: Diz-se que D⊂ℝⁿ é um conjunto conexo se os seus únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados são D e ∅ . Caso contrário diz-se que é desconexo. 

Proposição: D⊂ℝⁿ é desconexo ⇔ ∃ conjuntos disjuntos A,B≠∅ abertos relat. a D tais que D=AUB ⇔ ∃ conjuntos disjuntos A,B≠∅ fechados relat. a D tais que D=AUB .

Exemplo: Identificação de que um conjunto é aberto (resp., fechado) por ser a preimagem de um conjunto aberto (res., fechado) por uma função contínua definida num conjunto aberto (conjuntos de nível são fechados relat. ao domínio, conjuntos de sub- ou sobre- nível estrito (resp., lato) são abertos (resp., fechados) relat. ao domínio.

Proposição: Conjuntos de nível e gráficos de funções contínuas de D⊂ℝⁿ em ℝ^m são fechados relat. a, resp., D e Dxℝ^m; se D é fechado são subconjuntos fechados de, resp., ℝⁿ e ℝ^n+m. 

Exemplos: Identificação de conjuntos abertos ou fechados definidos por condições envolvendo funções contínuas, em particular, conjuntos de nível, sub- e sobre- nível de campos escalares contínuos (exemplos de gráfico de um campo escalar contínuo em ℝ² e da superfície de um tóro ("doughnut") em ℝ³ descrito por uma equação cartesiana). 

Observação: A continuidade de funções, via caracterização topológica de continuidade, é uma ajuda preciosa para facilitar a identificação se certos conjuntos são abertos ou fechados, o que pode ser muito mais difícil a partir das definições, devido à necessidade de determinar raios de bolas apropriados a identificar pontos do interior, exterior ou fronteira. A utilidade de continuidade para simplificação de cálculo de limites de funções quando se pode garantir continuidade sem cálculo do limite já tinha também simplificado radicalmente o cálculo de certos limites. Iremos encontrar várias outars situações em que continuidade de funções simplificam radicalmente outras questões, nomeadamente em cálculo diferencial e cálculo integral.