Campos conservativos (gradientes) e potenciais do campo

18 dezembro 2013, 14:00 • Ana Moura Santos

Resumo dos teoremas do cálculo vetorial: teorema para os integrais de linha; teorema de Green para domínios orientados com fronteira com orientação tangente (em \(R^2\)); teorema de Stokes para superfícies orientadas com fronteira com orientação (em \(R^3\)); teorema da divergência ou de Gauss para domínios orientados com fronteira com orientação da normal exterior (em \(R^3\)). Exemplo do cálculo dum fluxo através das faces dum cubo, usando o teorema da divergência.

Definição de campo \({\vec F}\) conservativo ou gradiente: \({\vec F}=grad\, f\), sendo \(f\) uma função escalar, de classe \(C^1\), a que se dá o nome de potencial do campo. Exemplo do potencial do campo gravítico.

Observação: \( rot \,grad\, f= \vec 0\), i.e. o rotacional dum campo gradiente ou conservativo é o vetor nulo, mas o rotacional dum campo anular-se pode não significar que o campo é conservativo. Exemplo da lei de Biot-Savart para o campo magnético induzido por uma corrente elétrica constante com sentido do semi-eixo positivo dos \(xx\): o rotacional do campo é o vetor nulo, mas o integral do trabalho ao longo da circunferência unitária no plano \(x=0\) não se anula. Teorema da equivalência entre \( rot \,{\vec F}= \vec 0\) e \({\vec F}=grad\, f\) para domínios convexos (sem buracos).

T.P.C.: 6.12.1, 6.12.2, 6.12.4.