20ª Aula - Motivação para Teorema da Função Inversa. Definição de jacobiano. Existência de inversa local de função  diferenciável com derivadas parciais contínuas e jacobiano ≠0 num ponto. Cálculo da derivada da inversa local no caso de ser diferenciável num aberto que contém a imagem do ponto. Motivação para o Teorema da Contracção para existência e unicidade de ponto fixo.

18 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães

Motivação para Teorema da Função Inversa: A questão de soluções x de equações f(x)=y é muito importante em matemática e aplicações. A possibilidade de resolução explícita em termos de funções elementares é rara: é possível resolver em geral se f é uma transformação linear em dimensão finita, se f é um polinómio real existem fórmulas resolventes apenas para polinómios até ao 4ª grau e está provado que não há fórmulas resolventes para grau maior, as outras equações que se podem resolver são casos muito particulares, e.g. que se podem reduzir a estes por mudanças de variáveis ou aproveitando simetrias. Como, a não ser em casos muito particulares, não se podem resolver equações explicitamente, pretende-se:
(1) obter condições que garantam existência de soluções, 
(2) obter condições que garantam unicidade ou que permitam contar as soluções, 
(3) determinar conjuntos a que pertencem soluções, 
(4) ter métodos para calcular computacionalmente aproximações das soluções com a precisão pretendida.
Pretende-se obter condições com cálculo diferencial, e.g. para funções reais de variável real f diferenciáveis, se f´(a)≠0 a função é estritamente crescente ou decrescente e, portanto, injectiva numa vizinhança de a (existe inversa local mas pode não existir inversa global), e transformações lineares em ℝⁿ são injectivas se e só se têm representações matriciais A não singulares, i.e. com det A≠0 .

Definição: Se f:S→ℝⁿ, S⊂ℝⁿ e f tem derivadas parciais em a∈int S, chama-se jacobiano de f em a a Jf(a)=det Df(a) .  

Existência de inversa local: Se f:S→ℝⁿ, S⊂ℝⁿ aberto, f é diferenciável em S, as derivadas parciais D_jf (j=1,...,n) são contínuas em a∈S e Jf(a)≠0 , então ∃ aberto X⊂S com a∈X tal que a restrição f_|X de f a X tem inversa.

Exemplo: Função de ℝ² em ℝ² C^∞ com jacobiano ≠0 em todos os pontos, mas não invertível (inevitabilidade de consideração de inversas locais).

Observações: 
(1) Se a inversa f^-1 de f_|X é diferenciável, é fácil obter a derivada de f^-1 mesmo sem conhecer uma fórmula para esta função, pois de f^-1∘f=1_X obtém-se da regra de derivação da função composta D f^-1(y)Df(x)=1_X e, portanto, Df^-1(y)=[Df(x)]^-1, com y=f(x) . 
(2) Para isso é preciso provar a diferenciabilidade de f^-1 e necessitamos de ter controlo sobre a variação desta função na vizinhança de a . Para tal convém obter uma condição de existência e unicidade de solução local de f(x)=y que não só permita esse controlo como também obter um método de calcular computacionalmente aproximações que convirjam para as soluções. 
(3) O caso mais simples é quando a solução é posta como ponto fixo de uma função que contrai distâncias, pois é de esperar que aplicando sucessivamente a função a partir de um ponto qualquer se obtenha uma sucessão convergente para o ponto fixo. Por isso, prova-se a seguir o chamado Teorema da Contracção que tem aplicação mais geral para obter existência, unicidade e sucessões de aproximações de soluções de equações.