22ª Aula - Revisão dos principais aspectos das duas aulas anteriores. Teorema da Função Inversa: afirmação e início da demonstração.

29 março 2016, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: 
(1) Em ℝⁿ, sucessão {u_k} converge  {u_k} ⇔ é sucessão de Cauchy (ℝⁿ com a norma canónica é um espaço normado completo).
(2) x é solução de f(x)=y ⇔ x  é ponto fixo da função definida por Q_y(x)=x-f(x)+y .
(3) Teorema de Contracção: Um contracção num subconjunto fechado de ℝⁿ tem um único ponto fixo no conjunto (é o limite de sucessões obtidas aplicando repetidamente a contracção a partir de um ponto qualquer do conjunto, a qual converge exponencialmente).
(4) Existência de inversa local: Se f:S→ℝⁿ, S⊂ℝⁿ é aberto, f é diferenciável em S, Df é contínua em a∈S, Jf(a)≠0 , então ∃ aberto X⊂S com a∈X tal que f_|X tem inversa. (ou seja a equação f_|X(x)=y tem solução única para y∈f(X) ).
(5) Podem ser satisfeitas as condições em todos pontos de S e não haver inversa global (se as condições são satisfeitas num intervalo S⊂ℝ , a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente em S e, portanto, tem inversa global em S ).
(6) Se (f_|X)^-1 é diferenciável em f(X) , então D[(f_|X)^-1](y)=[Df(x)]^-1 para x∈X com y=f(x) (ficou por provar que ∃ aberto X⊂S tal que (f_|X)^-1 é diferenciável em X ; agora temos o Teorema de Contracção para obter as soluções locais de f(x)=y como pontos fixos únicos função de y ).

Teorema da Função Inversa: Se f:S→ℝⁿ, com S⊂ℝⁿ aberto, f é diferenciável em S, Df é contínua em a∈S e Jf(a)≠0 , então ∃ X⊂S aberto com a∈X tal que: 
(1)  Restrição f_|X tem inversa f^-1; 
(2)  Y=f(X) é aberto; 
(3)  f^-1 é diferenciável em Y e Df^-1(y)=[Df(x)]^-1, com x=f^-1(y) ; 
(4)  f é C^m (m≥1) ⇒ f^-1 é C^m.

Observação: O Teorema da Função Inversa dá condições suficientes para existência de inversa local, mas não necessárias (mesmo com funções continuamente diferenciáveis, e.g. com n=1, f(x)=x³ e f(x)=x² no ponto 0 f'(0)=0 e a 1ª tem inversa mas a 2ª não).