19ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Exemplos de determinação de extremos relativos, absolutos ou pontos de estacionaridade de sela de campos escalares concretos em ℝ2.
17 março 2016, 13:00 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Fórmula de Taylor de 2ª ordem para campos escalares na vizinhança de ponto a : Se f:D→ℝ, D⊂ℝn, f é C2 em BR(a)⊂D, então f(a+h) - f(a) = ∇f(a)·h + (1/2) htHf(a)h + ||h||2E2(a,h) , com E2(a,h)→0 quando h→0 .
(2) Se f:D→ℝ, D⊂ℝn, f é C2 em BR(a)⊂D e ∇f(a)=0 , então:
(a) Hf(a) definida positiva (resp. negativa) ⇒ f tem máximo relativo em a ;
(b) Hf(a) indefinida ⇒ f tem sela em a (noutros casos é inconclusivo). Nos casos (a) e (b) a classificação de pontos de estacionaridade foi reduzida a uma questão de Álgebra Linear.
(dem.: se Hf(a) definida positiva, aplicar (1) e verificar que [1/(2||h||2)] [ (h/||h||)t Hf(a) (h/||h||) + E2(a,h) ] > 0 para h≠0 suficientemente pequeno, porque v=h/||h|| pertence à superfície esférica ∂B1(0) de raio 1 com centro na origem, que é um conjunto limitado e fechado, e v↦vtHf(a)v>0 é contínua em ∂B1(0) e o T. de Weiertrass implica que tem um mínimo m>0 e para h suficientemente pequeno |E2(a,h)|<m ; se Hf(a) definida negativa, então H-f(a) definida positiva e aplica-se caso anterior; se Hf(a) é indefinida, ∃h1,h2≠0 com h1tHf(a)h1>0 e h2tHf(a)h2<0 e o mesmo argumento garante que para h1,h2 suficientemente pequenos f(a+h)-f(a) é >0 e <0 para (resp.) h igual a h1 e h2 ).
Exemplos: Determinação e classificação de pontos de estacionaridade em casos concretos de campos escalares polinomiais em ℝ2 com ponto de estacionaridade em que a matriz hessiana é semidefinida e é um ponto de mínimo, de máximo ou de sela (mesmo com a restrição às direcções próprias da matriz hessiana com mínimo no ponto); exemplo de determinação de máximo relativo ser máximo absoluto estudando o limite no infinito e aplicando o T. de Weierstrass; exemplos de campos escalares com um continuum de pontos de sela, pontos de máximo ou pontos de mínimo; exemplo de determinação de extremos em pontos onde a função não é diferenciável.