15ª Aula - Geometria das soluções de sistemas de equações lineares. Relação das componentes de um vector num espaço de dimensão finita com uma mudança de base, através da correspondente matriz de mudança de base. Revisão de números complexos: definição, representação geométrica, propriedades algébricas fundamentais, representação polar, representação geométrica da soma e do produto, potências inteiras. dim ℂ=1 como espaço linear complexo.

14 outubro 2019, 12:00 • Luis Magalhães

Geometria das soluções de sistemas de equações lineares em termos de planos-k (sistemas com soluções e sem soluções; sistemas com 0, 1, infinitas soluções; conjunto das soluções).

Mudança de base em espaço de dimensão finita. Se S é a matriz de mudança de uma base ordenada (u₁,...,u_n) para uma base ordenada (v₁,...,v_n) de um espaço linear V com escalares em |K (ℝ ou ℂ), i.e. S=[s_ij] com s_ij a componente-i na 1ª base do elemento  v_j da 2ª base, e x, y∈|Kⁿ é a n-pla as componentes de um mesmo vector, resp., na 1ª e na 2ª base, estas componentes transformam-se com a mudanºça de base por y=S^-1x (diz-se contravariantemente).

Exemplo simples de matriz de mudança de base com permutação da base canónica de ℝⁿ.

Revisão de nºs complexos: definição (concreta) como conjunto ℂ de pares ordenados de nºs reais com a soma de ℝ² e o produto (a₁,b₁)(a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁), observação de que as propriedades algébricas desta soma e produto de nºs complexos são as mesmas das da soma e produto de nºs reais (ℂ como ℝ ou ℚ com a soma é um grupo comutativo, e o produto é comutativo, associativo, distributivo em relação à soma, tem elemento neutro (1,0) (a unidade) e cada complexo (a,b)≠0 tem recíproco (a,b)^-1=(a,-b)/(a²+b²) , como para o produto em ℝ ou ℚ ; i.e. são algebricamente corpos). (c,0)(a₁,b₁)=(ca₁,cb₁) pelo que o nº complexo (c,0) identifica-se com o nº real  c  e a multiplicação por escalares de ℝ² está implícita na multiplicação de complexos, representação geométrica dos complexos num plano e da adição de complexos (como em ℝ²). Definição de unidade imaginária i=(0,1) .

Representação polar de nºs complexos (r cos θ , r sin θ ) : módulo, argumento, argumento principal ( θ∈]-π,π] ) . Passagem de representação polar para cartesiana e vice versa. O argumento do produto é a soma dos argumentos das parcelas e o módulo é o produto dos módulos. Determinação gráfica do produto de complexos. Potências inteiras de complexos (com expoente negativo para z∈ℂ\{0}), 

Consequência: 
Uma base do espaço linear (real) ℝ² é ((1,0),(0,1)) e dim ℝ²=2 .
Uma base do espaço linear complexo ℂ é (1,0) , pois z=z(1,0) para todo z∈ℂ e, portanto, L({(1,0)})=ℂ . Logo dim ℂ=1, como espaço linear complexo.
Apesar de tanto ℝ² como ℂ serem constituídos pelos pontos do mesmo plano, multiplicação de um ponto ≠0 por escalares reais apenas os afasta ou aproxima de 0 com possível reflexão em relação a 0 sobre a mesma recta, multiplicação por escalares complexos além disso roda o resultado em torno da orgem de um ângulo igual ao argumento do escalar (dois movimentos independentes no plano).