14ª Aula - Revisão: Característica e produto de matrizes. Se B é a transposta de A, rank BA = rank AB = rank A = ran B . Invertibilidade de matrizes à direita e à esquerda e relação com sistemas de equações lineares e característica da matriz. Planos-k em ℝn: subespaços lineares de ℝn, equações cartesianas. Os 10 resultados mais importantes obtidos e papel central da Eliminação de Gauss e do Princípio da Sobreposição. Notas históricas sobre antecedentes, criação e consolidação das noções de espaço linear e vector.
14 outubro 2019, 09:00 • Luis Magalhães
Revisão: Característica e produto de matrizes.
Teorema: Para qualquer matriz A , rank AtA = rank A = rank At .
Teorema: Se A é matriz mxn,
(1) Os sistemas Ax=b têm solução para todo b ⇔ rank A=m (m≤n) ⇔ A tem inversa à direita.
(2) Os sistemas Ax=b não têm mais de uma solução para todo b ⇔ rank A=n (n≤m) ⇔ A tem inversa à esquerda.
(3) Os sistemas Ax=b têm solução única para todo b ⇔ m=n e A é não singular ⇔ tem inversa à direita e à esquerda.
Mudança de base: matriz de mudança de base, mudança de coordenadas com mudança de base (vectores transformam-se contravariantemente).
Rectas, planos e planos-k (ou variedades lineares, ou espaços afins, de dimensão k) em ℝn, k=0,1,...,n: definição e geometria.
Equações cartesianas de planos-k em ℝn e relação com núcleo da matriz dos coeficientes de equação cartesiana Ax=b.
Referência aos 10 resultados mais importantes obtidos nas aulas até hoje:
1. Sistemas Ax=b têm 0, 1 ou ∞ soluções.
2. Sobreposição nas soluções de Ax=b.
3. Matrizes têm factorização A=PLU.
4. Ax=b tem solução única com A nxn ⇔ inversa de A existe ⇔ A tem n pivots.
5. Subconjunto S de espaço linear é subespaço linear ⇔ S≠∅ e verifica fecho da adição e da multiplicação por escalares.
6. dim R(At) = dim R(A) .
7. Para matrizes A mxn, rank A + nul A = n .
8. Teorema da Dimensão (provado p/ dimensão finita).
9. rank AB ≤ min{rank A, rank B} .
10. Para matrizes reais rank AtA = rank A = rank At .
(7 provados com base em ELIMINAÇÃO DE GAUSS, 2 com base no Princípio da Sobreposição, e o outro de Álgebra Linear com base em ELIMINAÇÃO DE GAUSS e em soma de quadrados de nºs reais >0 se um for >0 .
Notas históricas: antecedentes da noção de espaço linear (mecânica, coordenadas cartesianas, equações diferenciais, plano complexo, segmentos orientados, teoria da extensão, quaterniões, álgebra de vectores, independência linear, base, dimensão (Grassman 1844), análise vectorial em electromagnetismo (Gibbs 1881, Heaviside 1893); criação e consolidação da noção de espaço linear: propriedades fundamentais (Grassman 1862), axiomática para espaço linear segundo Grassman (Peano 1888), ampla aceitação da axiomática só com publicação de Théorie des opérateurs linéaires (Banach 1932); designações: "vector" e "escalar" (Hamilton para octoniões 1846), "espaço linear" (Pincherle 1901), "álgebra linear" (Weyl 1918); 1º trabalho em dim>3 (Cayley 1846), nulidade (Sylvester 1884), existência de bases para espaços lineares gerais (Hausdorff 1932), bases de um espaço linear têm a mesma cardinalidade (Lowig 1934).