12ª Aula - Revisão: T. da Dimensão, Determinação de bases dos espaços de linhas, de colunas e nulo de uma matriz mxn com eliminação de Gauss. T. de Característica e Nulidade. Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaços de matrizes, espaços de polinómio, espaços com funções trigonométricas. Propriedades gerais de bases de espaço linear de dimensão finita.

10 outubro 2019, 09:00 • Luis Magalhães

Revisão: T. da Dimensão, Determinação de bases dos espaços de linhas, de colunas e nulo de uma matriz mxn com eliminação de Gauss. T. de Característica e Nulidade.

Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaço das matrizes reais 2x2, espaço das matrizes reais mxn, espaço P_n dos polinómios reais de grau ≤n , com n∈ℕ (dim P_n=n+1), espaço P de todos os polinómios reais (dim P=#ℕ) , espaço C⁰([-1,1],ℝ) das funções reais contínuas definidas no intervalo [-1,1] (dim C⁰(ℝ,ℝ) =∞, dim C⁰(ℝ,ℝ) ≥ #ℕ , mas sem obter a cardinalidade, que é  #ℕ , nem identificar uma base).

Propriedades gerais de bases de espaço linear V de dimensão finita (com dimV=n<∞): 

(1) Todo S⊂V linearmente independente está contido numa base de V .

(2) Se S⊂V com #S=n  é linearmente independente, então é uma base de V , 

(3) Se S⊂V com #S=n gera V, então é uma base de V ,

Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: as funções reais de variável real definidas por sin at, cos at , com a≠0 , são linearmente independentes em ℝ^ℝ, geram um  subespaço de dimensão 2 de ℝ^ℝ; as funções reais de variável real definidas por sin²t , cos²t , 1 são linearmente dependentes, mas quaisquer duas geram um subespaço de dimensão 2 de ℝ^ℝ (cada par gera um subespaço linear diferente).