19ª Aula - Revisão: Representação matricial de transformações lineares entre espaços de dimensão finita em relação a um par de bases ordenadas, uma para o domínio e outra para o espaço linear de chegada. Exemplos. propriedades gerais de representações matriciais de transformações lineares. e mudanças de bases; matrizes semelhantes. Transformações lineares com representações matriciais diagonais, valores e vectores próprios. Obtenção de valores e vectores próprios em dimensão finita com sistemas de equações lineares. Referência a formas canónicas de Jordan.

22 outubro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Representação matricial de transformações lineares entre espaços de dimensão finita em relação a um par de bases ordenadas, uma para o domínio e outra para o espaço linear de chegada. 

Proposição: Se V, W são espaços lineares de dimensão finita com escalares em |K (ℝ ou ℂ), a função M:L(V,W)→|K^mxn tal que M(T) é a representação matricial de cada T∈L(V,W) num par de bases fixadas,, uma em V e outra em W, é uma transformação linear bijectiva.

Continuação de exemplos de representações matriciais de transformações lineares em bases diferentes.

Mudanças de bases em representações matriciais de transformações lineares: 

(1) Se T∈L(V,W), A é representação matricial de T num par de bases ordenadas de espaços lineares de dimensão finita  V e W, A'  é representação matricial de T num 2º par de bases ordenadas de V e W e as matrizes de mudança da 1ª para a 2ª base de V e de W são resp. S_V e S_W, então A'= (S_W)^-1A S_V.

(2) Se T∈L(V,V), A é representação matricial de T numa base ordenada de V e A'  numa 2ª bases ordenada de V e a matriz de mudança da 1ª para a 2ª base é S, então A'= S^-1A S .

Definição: Matrizes A,B  são semelhantes se existe uma matriz não singular S tal que B= S^-1A S . 

Observação: Representações matriciais de uma mesma transformação linear de um espaço de dimensão finita em si próprio são matrizes semelhantes. 

Referência a conveniência de utilizar bases em que uma transformação linear de um espaço linear de dimensão finita em si próprio tenha representação matricial diagonal, para desacoplamento de componentes correspondentes. Exemplo de reflexão no plano em relação a recta que passa na origem. 

Definição de valor e vector próprio de transformação linear T:V→V : T(x)=λx , com x≠0 e λ escalar, x é vector próprio e λ é valor próprio, dizem-se associados. 

Proposição: Uma transformação linear T:V→V com dim V=n finita tem representação matricial diagonal em alguma base de V se e só se existe uma base V formada por vectores próprios, i.e. se e só se existem n vectores próprios linearmente independentes. A matriz diagonal correspondente tem na diagonal os valores próprios associados aos vectores próprios da base ordenada, pela mesma ordem.

Proposição: Se V é espaço linear com escalares em |K e dimensão finita dim V=n∈ℕ, T∈L(V,V) e A é a representação matricial de T numa base de V:

(1) λ escalar é valor próprio de T se e só se A-λI é singular.

(2) v∈V é vector próprio de T se e só se a n-pla x∈|Kⁿ das suas componentes na base de V considerada se e só se x∈N(A-λI)\{0} .

Observação: A determinação de valores próprios e vectores próprios de uma matriz quadrada ou de uma transformação linear num espaço linear de dimensão finita são questões de resolução de sistemas de equações lineares.

Nem sempre existem bases de vectores próprios, ou seja nem sempre existem representações matriciais diagonais. Exemplo. 

Observação: Em espaços lineares complexos há sempre representação matricial diagonal de blocos com cada bloco com desacoplamento quase total: no máximo cada componente da imagem depende da correspondente componente do domínio e da seguinte. Referência a forma canónica de Jordan: os elementos na diagonal principal de formas canónicas de Jordan são valores próprios e os vectores da base correspondentes ao início de cada bloco de Jordan são vectores próprios (assunto a tratar na parte final da disciplina).