22ª Aula - Revisão e continuação da prova de imagens de circunferências com centro em 0 em ℝ2 por transformações lineares em ℝ2 invertíveis são elipses ou circunferências com cenro em 0. Prova que L(V,W) é espaço linear. Prova que composições de transformações lineares, quando possíveis, são transformações lineares. Potências inteiras positivas ou 0 de transformação linear num espaço linear e potências inteiras no caso da transformação linear ser invertível. Representações matriciais da composição de transformações lineares entre espaços de dimensão finita.

29 outubro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Proposição: Se T∈L(ℝ²,ℝ²) a imagem de um circunferência com centro em 0 por T é uma elipse ou uma circunferência con centro em 0 se T é invertível, e é 0 ou um segmento de recta com ponto médio em 0 se T não é invertível, conforme rank A=0 ou rank A=1, em que A é a representação matricial de T numa base de ℝ².
(continuação da dem.) A=[aij] representação matricial de T na base canónica, B=(A ^-1) ^tA ^-1=[b _ij], a imagem da circunferência com centro 0 e raio r é b ₁₁X ²+2b ₁₂XY+b ₂₂Y ²=r ², em que b ₁₁=(a ₁₁) ²+(a ₂₁) ²≥0 , b ₂₂=(a ₁₂) ²+(a ₂₂) ²≥0 , b ₁₂=a ₁₁a ₁₂+a ₂₁a ₂₂. Falta o caso b ₁₂≠0 . Convém mudar de base para diagonalizar B . Valores próprios  λ₁, λ ₂ são as soluções de λ ²-(b ₁₁+b ₂₂)λ+b ₁₁b ₂₂-(b ₁₂) ²=0. (b ₁₁+b ₂₂) ²-4[b ₁₁b ₂₂-(b ₁₂) ²]=(b ₁₁-b ₂₂) ²+(b ₁₂) ²>0. Logo  λ ₁≠λ ₂ são reais. Nas coordenadas (X',Y') numa base ( v ₁, v ₂) de vectores próprios de B associados aos valores próprios, resp., λ ₁, λ ₂, a equação da imagem da circunferência com centro 0 e raio r é λ ₁(X') ²+λ ₂(Y') ²=r ². Esta equação é de uma elipse ou circunferência com centro em 0 se λ ₁,λ ₂>0 e v ₁⊥ v ₂. Como λ ₁+λ ₂=b ₁₁+b ₂₂≥0 e λ ₁λ ₂=b ₁₁b ₂₂-(b ₁₂) ²= [(a ₁₁) ²+(a ₂₁) ²] [(a ₁₂) ²+(a ₂₂) ²]-[a ₁₁a ₁₂+a ₂₁a ₂₂] ²= [a ₁₁a _22-a ₂₁a ₂₂] ²> 0 (porque A é não singular), é λ ₁,λ ₂>0 . Pode-se escolher v ₁=(b ₁₂,λ ₁-b ₁₁) e v ₂=(b ₁₂,λ ₂-b ₁₁) . Os declives das rectas passam nestes pontos e em (0,0) são m ₁=(λ ₁-b ₁₁)/b ₁₂ e m ₂=(λ ₂-b ₁₁)/b ₁₂ . m ₁m ₂=(λ ₁-b ₁₁)(λ ₂-b ₁₁)/(b ₁₂) ²=[λ ₁λ ₂-(λ ₁+λ ₂)b ₁₁+(b ₁₁) ²]/(b ₁₂) ²=[b ₁₁b ₂₂-(b ₁₂) ²-(b ₁₁+b ₂₂)b ₁₁+(b ₁₁) ²]/(b ₁₂) ²=-1 ; logo m ₁m ₂=-1 e, portanto, v ₁⊥v ₂.

Observação: Com este resultado tem-se uma noção geométrica clara do que podem ser as deformações do plano ℝ² por uma transformação linear.

Proposição: Se V e W são espaços lineares com os mesmos escalares, L(V,W) é um espaço linear com os mesmos escalares e as operações usuais com transformações lineares definidas ponto a ponto.
V e W^V é espaço linear porque  W^V=X_a∈VX_a com X_a=W. A função 0 de V em W é transformação linear e é fácil verificar que 0∈L(V,W) e as propriedades de fecho da adição e da multiplicação por escalares..

Proposição: Se U,V,W são espaços lineares com os mesmos escalares, T∈L(U,V), S∈L(V,W)  ⇒ TS∈L(U,W) 

Definição de potências inteiras positivas T^m de T∈L(V,V) . Satisfazem T^m+n=T^mTⁿ para m,n∈ℕ∪{0} , com T⁰=1_V. Se T é invertível define-se T^-m=(T^-1)^m, logo potências inteiras positivas ou negativas e também T^m+n=T^mTⁿ para m,n∈ℤ .

Proposição: Se U,V,W são espaços lineares com os mesmos escalares de dimensão finita, T∈L(U,V), S∈L(V,W)  e M(T), M(S), M(ST) são as representações matriciais de, resp., T, S, ST em bases ordenadas, uma fixada em cada U,V,W, é M(ST)=M(S) M(T) .